哈代空間

在複分析中，哈代空間（或哈代類）$H^{p}$是單位圓盤或上半平面上的某類全純函數。高德菲·哈羅德·哈代首先在1915年考慮這類問題。在實分析中，實哈代空間是複哈代空間的成員在實數軸上的邊界值。對於$1<p<\infty$，實哈代空間基本上等於$L^{p}$空間。當$p\leq 1$時，$L^{p}$空間較難操作，而哈代空間的性質就比較容易掌握。

在較高維的情況，我們可考慮管狀域（複數情形）及$\mathbb {R} ^{n}$上的函數，從而得到相應的定義。

哈代空間在數學分析、控制論及散射理論中有所應用。

單位圓盤的哈代空間

對$0<p<\infty$，哈代空間$H^{p}$定義為開單位圓盤上滿足下述性質的全純函數$f$

$\sup _{0<r<1}\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f(re^{i\theta })\right|^{p}\;d\theta \right)^{\frac {1}{p}}<\infty .$

左側的數定義為範數$\|f\|_{H^{p}}$。

若$0<p<q<\infty$，可證明$H^{q}\subset H^{p}$。

上半平面的哈代空間

藉凱萊變換，可將單位圓盤的定義翻譯到上半平面的情形。此時哈代空間等於上半平面上滿足下述性質的全純函數$F$

$\sup _{y>0}\left(\int _{\mathbb {R} }|F(x+iy)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}<\infty$

左側的數定義為範數$\|F\|_{H^{p}}$。

參考文獻

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