奇異攝動
奇異攝動問題是指數學上一個含有小參數的問題，但不能夠直接以把小參數設為零來求得所有近似解的問題。在描述奇異攝動問題的方程里，小參數作為係數出現在含有最高階次方或導數項里，如果按照常規攝動法把小參數設為零，將會導致方程降階從而不能得到所有的近似解。奇異攝動的來源是這類問題里存在多個尺度。為了求得在每個尺度上的有效近似解，需要將方程用不同尺度規範化以得到新的方程。而新的方程則可以用常規攝動法來求近似解。奇異攝動方法開端於普朗特的邊界層理論。
解析方法[編輯]
當一個被攝動的問題的解可以用一個漸近展開來作為問題的整個域上的無論是空間還是時間上的近似解時，這樣的情形被稱作常規攝動。通常，一個常規攝動問題的零階近似解是通過把小參數 ε 設零來求得。 這相當於只取漸近展開的第一項以求得相應的近似解。這個方法不能直接作為第一步來求解一個奇異攝動問題。如以下的例子所顯示，一個奇異攝動問題發生於當問題里的小參數出現在方程的含有最高階算子的項的係數里†。因此如果幼稚地把小參數設零會改變問題的本質。對於微分方程，部分邊界條件將不能被滿足；對於代數方程，解的總數被減少了。
奇異攝動方法理論開端於普朗特的邊界層理論，是一個豐富的並持續發展的供數學、物理、及其它學科的工作者們探索的領域。現存的解決奇異攝動問題的方法有幾種。對於空間域上的問題，有匹配漸近展開法和WKB近似法；對於時間域上的問題，有龐加萊－林德斯泰特方法（Poincare-Lindstedt）、多尺度方法（multiple-scale）、和周期平均方法(periodic averaging)。
關於常、偏微分方程的奇異攝動法, 參見 Holmes [1]，Hinch [2]， Bender and Orszag[3] 或者 Wang [4].
奇異攝動 題例[編輯]
參考資料[編輯]
- ^ Holmes, Mark H. Introduction to Perturbation Methods.
- ^ Hinch, E. J. Perturbation methods.
- ^ Bender, Carl M. and Orszag, Steven A. Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers.
- ^ Wang, Yingwei; Chen, Suqin; Wu, Xionghua. A rational spectral collocation method for solving a class of parameterized singular perturbation problems. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2010, 233 (10): 2652–2660. doi:10.1016/j.cam.2009.11.011
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