匹配渐近展开法(英語:method of matched asymptotic expansions)是数学中用于获得方程或方程组高精度近似解的一种常用方法,尤其常用于奇异摄动微分方程的求解。
对于许多奇异摄动问题而言,可以将定义域分成两个或多个部分。其中一部分(通常是范围最大的部分)可以通过正则摄动理论获得渐近展开级数解。然而这个解在其他较小的部分则十分不精确。如果这些部分处于定义域边界上被称为边界层,处于定义域中间则称为内层。可以将边界层或内层内的求解问题当作一个独立的摄动问题处理,以获得相应的“内解”(之前通过正则摄动获得的则称为“外解”)。最后再将内解与外解通过“匹配”的办法合并,以得到在整个定义域内都适用的近似解。[1][2][3]
考虑边值问题
![{\displaystyle \epsilon y''+(1+\epsilon )y'+y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c4a72aefadcc040e8562feec104f9f7d68dd02)
其中
为时间
的函数,定义域从0到1,边界条件为
与
。
是一个小参数,满足
。
由
十分小,故可以当作正则摄动问题处理。取
,有
![{\displaystyle y'+y=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7fb648bf5161196050060e6860bfe0df856305)
该方程的解为
![{\displaystyle y=Ae^{-t}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a97eece874fe9802c0fb581e2fd10d8baef6e002)
其中
为常数。使用边界条件
,有
。而如果使用另一个边界条件
,则有
。这说明该解不可能满足所有边界条件,意味着
的假设不能在整个定义域中都适用(即奇异摄动问题)。于是,我们能够知道定义域中必定存在一个边界层,其中
与自变量
相比不能再忽略不计。这个边界层位于
一侧。于是我们使用另一个边界条件
得到适用于边界层以外区域的外解
。
在边界层之内,
与
都很小,但它们大小相若,故可以定义一个新的O(1) 时间变量
。于是原先的边值问题可以改写为
![{\displaystyle {\frac {1}{\epsilon }}y''(\tau )+\left({1+\epsilon }\right){\frac {1}{\epsilon }}y'(\tau )+y(\tau )=0,\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8902ef320df96950d17066346a51e8b80e0362e5)
将两边同乘
再取
,得到
![{\displaystyle y''+y'=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badc98149794271dbcbc025dfe3e45266c9456ad)
该方程的解为
![{\displaystyle y=B-Ce^{-\tau }\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f6a5174a9267514f69d93258b60597156ca4361)
其中
与
为常数。使用边界层内的边界条件
,得到
。故内解为
![{\displaystyle y_{I}=B\left({1-e^{-\tau }}\right)=B\left({1-e^{-t/\epsilon }}\right).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23575b377f14cbb8e9acebf7bc2739186bd7d2a1)
由于对于中间大小的
(
)需同时满足内解和外解,故可以令内解的外极限与外解的内极限相等,即
。由此得到常数
。
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Singular_perturbation_convergence.svg/400px-Singular_perturbation_convergence.svg.png)
取不同值时的近似解
最后,将匹配好的内解与外解合并,以得到适用于整个定义域的近似解。具体而言,即是将内解与外解相加,再减去内、外解重合部分的值
(即外解的内极限,或内解的外极限)。此问题中,重合部分的值为
。故可以得到原边值问题的最终近似解为
![{\displaystyle y(t)=y_{I}+y_{O}-y_{\mathrm {overlap} }=e\left({1-e^{-t/\epsilon }}\right)+e^{1-t}-e=e\left({e^{-t}-e^{-t/\epsilon }}\right).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6ad42813b6bcee770d2561723b01125bb92161)