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匹配漸近展開法

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匹配漸近展開法(英語:method of matched asymptotic expansions)是數學中用於獲得方程方程組高精度近似解的一種常用方法,尤其常用於奇異攝動微分方程的求解。

對於許多奇異攝動問題而言,可以將定義域分成兩個或多個部分。其中一部分(通常是範圍最大的部分)可以通過正則攝動理論獲得漸近展開級數解。然而這個解在其他較小的部分則十分不精確。如果這些部分處於定義域邊界上被稱為邊界層,處於定義域中間則稱為內層。可以將邊界層或內層內的求解問題當作一個獨立的攝動問題處理,以獲得相應的「內解」(之前通過正則攝動獲得的則稱為「外解」)。最後再將內解與外解通過「匹配」的辦法合併,以得到在整個定義域內都適用的近似解。[1][2][3]

示例

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考慮邊值問題

其中為時間的函數,定義域從0到1,邊界條件為是一個小參數,滿足

外解(t = O(1))

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十分小,故可以當作正則攝動問題處理。取,有

該方程的解為

其中為常數。使用邊界條件,有。而如果使用另一個邊界條件,則有。這說明該解不可能滿足所有邊界條件,意味着的假設不能在整個定義域中都適用(即奇異攝動問題)。於是,我們能夠知道定義域中必定存在一個邊界層,其中與自變量相比不能再忽略不計。這個邊界層位於一側。於是我們使用另一個邊界條件得到適用於邊界層以外區域的外解

內解(t = O(ε))

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在邊界層之內,都很小,但它們大小相若,故可以定義一個新的O(1) 時間變量。於是原先的邊值問題可以改寫為

將兩邊同乘再取,得到

該方程的解為

其中為常數。使用邊界層內的邊界條件,得到。故內解為

匹配

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由於對於中間大小的)需同時滿足內解和外解,故可以令內解的外極限與外解的內極限相等,即。由此得到常數

合併

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取不同值時的近似解

最後,將匹配好的內解與外解合併,以得到適用於整個定義域的近似解。具體而言,即是將內解與外解相加,再減去內、外解重合部分的值(即外解的內極限,或內解的外極限)。此問題中,重合部分的值為。故可以得到原邊值問題的最終近似解為

參考文獻

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  1. ^ Verhulst, F. Methods and Applications of Singular Perturbations: Boundary Layers and Multiple Timescale Dynamics. Springer. 2005. ISBN 0-387-22966-3. 
  2. ^ Nayfeh, A. H. Perturbation Methods. Wiley Classics Library. Wiley-Interscience. 2000. ISBN 978-0-471-39917-9. 
  3. ^ Kevorkian, J.; Cole, J. D. Multiple scale and singular perturbation methods. Springer. 1996. ISBN 0-387-94202-5.