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居里定律

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居里定律是指在順磁性材料中,材料的磁化強度大致與施加的磁場強度成正比。然而,若加熱材料,則比值減小。對於固定場強的磁場,磁化率大致與溫度成反比。

其中

是磁化強度
磁感應強度
是溫度,以開爾文為單位
是材料的居里常數

居里定律是在實驗中由皮埃爾·居里得到的,它適用於相對高溫及弱磁場的條件下。而從其物理本源上推導,則能得到在低溫和強磁場條件下,磁化強度趨於飽和的結果,而非由定律預言的持續增加。

用量子力學推導

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順磁體的磁化強度 是溫度的反比函數.

順磁體簡單的數學模型可以看作由沒有相互作用的粒子組成。每一個粒子都有磁矩。磁場中磁矩能量由下式給出:

雙態 (自旋-½)粒子

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為簡化計算,我們將順磁體內的粒子看作是雙態粒子:其磁矩與磁場的方向要麼平行要麼相反。因此,磁矩的可能值只能是或者 。如果是這樣,那麼這樣的粒子只有兩種可能的能量


以及

順磁體的磁化強度一般意味著粒子磁矩與磁場同向的可能性。換句話說,就是磁化強度期望值

其中,每一種情況的概率由其玻爾茲曼因子給出,配分函數為概率提供必要的歸一化(即所有這些概率的總和是歸一的)。 一個粒子的配分函數是

因此,在雙態粒子簡單的情形中,我們有

這是單個粒子的磁化強度,固體的總磁化強度由下式給出

其中n是磁矩的數密度。上式被稱為朗之萬順磁方程

皮埃爾·居里(Pierre Curie)在實驗中發現:當順磁體處於相對較高的溫度和較低的磁場中,這個定律的近似成立。在值較大且值較小時,上式中雙曲正切的自變量減少,即:

上式有時被稱為 居里區間. 同時,我們知道如果,那麼,因此

因此磁化強度也很小,有,可以得到

更重要的一點是,磁化率由下式給出

其中 居里常數 ,其單位是開爾文 (K)。[1]

在低溫或高場的情況下,趨向於的最大值,對應於所有粒子與場完全對齊。由於這個計算沒有描述嵌入費米表面深處的電子,泡利不相容原理禁止其自旋翻轉,所以它沒有舉例說明這個問題在低溫下的量子統計。根據費米-狄拉克分布,在低溫下線性依賴於磁場,因此磁化率飽和到一個常數。

一般情況

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當粒子具有任意自旋(任意數量的自旋狀態)時,公式有點複雜。 在低磁場或高溫下,自旋遵循居里定律,居里常數

[2]

其中 總角動量量子數 是 自旋的因子 (例如 是磁量子數)。

對於更一般的公式及其推導(包括高場強,低溫),請參閱文章:布里淵函數。 當自旋接近無窮大時,磁化公式接近下一節中推導的經典值。

用經典統計力學推導

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當順磁子被想像為經典的、自由旋轉的磁矩時,適用另一種處理方法。在這種情況下,它們的位置將由它們在球坐標中的角度確定,其中一個粒子的能量是

其中 是磁矩和磁場之間的角度(假設磁場指向軸)。對應的配分函數

可以看出上式中被積函數對 角沒有依賴性,令 以獲得

現在,磁化強度的分量的預期值(另外兩個被視為零,由於在上的積分),由下式給出

為簡化計算, 可以將其寫作微分:


(這種方法也可以用於上面的模型,但計算非常簡單,所以沒有那麼有用。)

繼續推導發現

其中 郎之萬函數:

對於小 ,此函數似乎是奇異的,但事實並非如此,因為兩個奇異項相互抵消。事實上,它對小參數的極限是,因此居里極限也適用,但在這種情況下,居里常數要小三倍。同樣,對於其參數的較大值,函數在 處飽和,並且同樣會恢復相反的極限。

參見

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參考資料

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  1. ^ Coey, J. M. D.; Coey, J. M. D. Magnetism and Magnetic Materials. Cambridge University Press. 2010-03-25 [2022-02-23]. ISBN 978-0-521-81614-4. (原始內容存檔於2022-02-23) (英語). 
  2. ^ Kittel, Charles. Introduction to Solid State Physics, 8th Edition. Wiley. 2005: 304. ISBN 0-471-41526-X.