德卡斯特里奧算法
外觀
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數學子領域數值分析中的德卡斯特里奧算法(英語:De Casteljau's algorithm),以發明者保爾·德·卡斯特里奧命名,是計算伯恩斯坦形式的多項式或貝茲曲線的遞迴方法。
雖然對於大部分的體系結構,該算法和直接方法相比較慢,但它在數值上更為穩定。
定義
[編輯]貝茲曲線B(角度為n,控制點)可用以下方式運用德卡斯特里奧算法
- ,
其中b為伯恩施坦基本多項式
- .
曲線在t0點上可以用遞迴關係式運算
然後,在點上的計算可以此算法的步計算。的結果為:
再者,貝茲曲線可在分成帶有各種控制點的兩段曲線:
注意事項
[編輯]進行手算時把係數寫成三角形形式很有用。
當選擇一點t0來計算波恩斯坦多項式時,我們可以用三角形形式的兩個對角線來構造多項式的分段表示。
把它變成
以及
例子
[編輯]我們要計算2次波恩斯坦多項式,其伯恩斯坦係數為
在t0點計算。
我們有下式開始遞迴
遞迴的第二次重複結束於
這就是我們所預料的n階伯恩斯坦多項式。
貝塞爾曲線
[編輯]在計算帶n+1個控制點Pi的三維空間中的n次貝塞爾曲線 (Bézier curve) 時
其中
- .
我們把Bézier曲線分成三個分立的方程式
然後我們用de Casteljau算法分別計算。
偽代碼例子
[編輯]這是一個遞迴的畫出一條從點P1到P4,彎向P2和P3的曲線的偽代碼例子。級數參數是遞迴的次數。該過程用增加了的級數參數來遞迴的調用它自己。當級別達到最大級別這個全局變量時,在P1和P4之間就畫上直線。函數中點(midpoint)去兩個點,並返回這兩點間的線段的中點。
global max_level = 5
procedure draw_curve(P1, P2, P3, P4, level)
if (level > max_level)
draw_line(P1, P4)
else
L1 = P1
L2 = midpoint(P1, P2)
H = midpoint(P2, P3)
R3 = midpoint(P3, P4)
R4 = P4
L3 = midpoint(L2, H)
R2 = midpoint(R3, H)
L4 = midpoint(L3, R2)
R1 = L4
draw_curve(L1, L2, L3, L4, level + 1)
draw_curve(R1, R2, R3, R4, level + 1)
end procedure draw_curve
代碼實現
[編輯]用线性插值计算P和Q之间的一点R,插值参数为t
用法:linearInterp P Q t
P = 代表一个点的表
Q = 代表一个点的表
t = 线性插值的参数值, t<-[0..1]
返回:代表点(1-t)P + tQ的表
> linearInterp :: [Float]->[Float]->Float->[Float]
> linearInterp [] [] _ = []
> linearInterp (p:ps) (q:qs) t = (1-t)*p + t*q : linearInterp ps qs t
计算一对控制点间的线性插值的中间结果
用法:eval t b
t = 线性插值的参数值, t<-[0..1]
b = 控制点的表
返回:对n个控制点,返回n-1个插值点的表
> eval :: Float->[[Float]]->[[Float]]
> eval t(bi:bj:[])= [linearInterp bi bj t]
> eval t (bi:bj:bs) = (linearInterp bi bj t) : eval t (bj:bs)
用de Casteljau算法计算Bezier曲线上一点
用法:deCas t b
t = 线性插值的参数值, t<-[0..1]
b = 控制点的表
返回:代表Bezier曲线上一个点的列表
> deCas :: Float->[[Float]]->[Float]
> deCas t(bi:[])= bi
> deCas t bs = deCas t (eval t bs)
用de Casteljau算法计算沿着Bezier曲线的一系列点。点用一个列表返回。
用法:bezierCurve n b
n = 要计算的点的个数
b = Bezier控制点列表
返回:Bezier曲线上n+1个点
例子:bezierCurve 50 <nowiki>[[0,0],[1,1],[0,1],[1,0]]</nowiki>
> bezierCurve :: Int->[[Float]]->[[Float]]
> bezierCurve n b = [deCas (fromIntegral x / fromIntegral n) b | x<-[0 .. n] ]
(該代碼用到Python圖像庫(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館))
import Image
import ImageDraw
SIZE=128
image = Image.new("RGB", (SIZE, SIZE))
d = ImageDraw.Draw(image)
def midpoint((x1, y1), (x2, y2)):
return ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)
MAX_LEVEL = 5
def draw_curve(P1, P2, P3, P4, level=1):
if level == MAX_LEVEL:
d.line((P1, P4))
else:
L1 = P1
L2 = midpoint(P1, P2)
H = midpoint(P2, P3)
R3 = midpoint(P3, P4)
R4 = P4
L3 = midpoint(L2, H)
R2 = midpoint(R3, H)
L4 = midpoint(L3, R2)
R1 = L4
draw_curve(L1, L2, L3, L4, level+1)
draw_curve(R1, R2, R3, R4, level+1)
draw_curve((10,10),(100,100),(100,10),(100,100))
image.save(r"c:\DeCasteljau.png", "PNG")
print "ok."
參考
[編輯]- Farin, Gerald & Hansford, Dianne (2000). The Essentials of CAGD. Natic, MA: A K Peters, Ltd. ISBN 1-56881-123-3
參看
[編輯]- Horner法:計算單項式形式多項式
- Clenshaw算法:計算柴比雪夫形式多項式