最密堆積

如何在一定空間內堆疊出最多的橘子涉及最密堆積的問題。

在幾何上，最密堆積（英語：Sphere Packing）或球填充，是指在一定範圍內放入最多不重疊球體的方式，通常這些球的大小視為相同。堆積的範圍通常是三維歐幾里得空間，不過有時也會對超過三維的歐式空間或非歐幾何空間進行討論。

常見的最密堆積問題通常是要求在一空間內放入最多的球體。此時，球體總體積占空間大小的比例稱為密度，科學家會利用演算法找出能使密度儘可能增大的方法。理論上，在三維空間內由相同球體所形成的最密堆積密度能到74%。相較之下，隨機排列（例如隨意將幾顆球丟進箱子裡）的密度平均只有64%。

歐式幾何

參見：克卜勒猜想

由相同大小之球體轉換到不規則形的氣泡。

在三維歐幾里得空間中，三維的最密堆積是由若干二維密置層疊合起來的，密置層中相鄰的等徑球都相切。其中兩種常見的最密堆積方式，一種稱為面心立方（FCC），底部必須是三角形，以便盡可能堆出最小的金字塔。另一種為六方最密堆積（HCP），要堆出最小的金字塔時，底部須為六角形。面心立方是在每一層中規律性地重複三個不同的位置，成為「ABCABC……」的模式；六方最密堆積則是規律性地重複兩個不同的位置，使各層在ABAB ...序列中交替。 但是也有可能出現多層堆疊序列（ABAC，ABCBA，ABCBAC等），並且仍然生成緊密堆積結構。 在所有這些布置中，每個球被12個其他球圍繞。理論上其密度最大值為:

${\frac {\pi }{3{\sqrt {2}}}}\simeq 74.048\%$

此外，常見的堆積方式密度如下：

• 六方密堆積 : 74%
• 面心立方堆積 : 74%
• 體心立方堆積: 68%
• 簡單立方堆積: 52%
• 鑽石結構: 34%
• 隨機堆積: 59%~64%

實驗上，面心立方是六方最密堆積隨時間逐漸演變而來，特別是同等體積的氣泡、水滴或固體顆粒自動形成的模式。

高斯在1831年證明，這些填料在所有可能的點陣填料中密度最高。在1611年克卜勒猜想這是在正規和不規則安排之間的最大可能密度，這被稱為克卜勒猜想。在1998年，托馬斯·黑爾斯藉由拉斯羅‧費耶斯‧托特所提出的方式，提出了一個關於此猜想的證明。黑爾斯利用窮舉法的方式證明此猜想，其證明大量地使用電腦程式的運算。審稿者曾說他們對於黑爾斯證明的正確性有99%的確定性，故克卜勒猜想目前已幾乎可說是個定理了。2014年由黑爾斯引導的Project FlysPecK完成了對克卜勒猜想的形式化證明。

化學

參見：原子堆積因子

化學上，晶體中的原子、離子或分子等粒子，其規則滿足點陣型式；能在相同空間內填入最多原子的方式稱為最密堆積，通常以固體存在於自然界。

各種最密堆積中，最有對稱性的是六方最密堆積（英文縮寫hcp，又叫A3型）和面心立方最密堆積（英文縮寫fcc，又叫A1型），這兩種是晶體中極常見的排列方式。hcp的疊合方式是2層一循環：ABAB……；fcc的疊合方式是3層一循環：ABCABC……。

六方最密堆積在取晶胞時，一般取六方錐的三分之一，晶胞屬六方晶系，底面菱形的銳角一定是60°。下圖是六方最密堆積的原子在一個六方錐的排列。

面心立方最密堆積示意圖

面心立方最密堆積出於對稱性一般取面心型式的立方晶胞。一個晶胞涉及到的14個原子分屬4層：以一個頂角為A層，與之最相鄰的3個面心原子和3個頂角原子屬於B層，接下來的6個原子屬於C層，還有一個頂角與A層的頂角相對，它處於下一個循環的A層。

許多單質，尤其是金屬單質為了獲得較強的作用力，常採用最密堆積。
採用六方最密堆積的單質有：

• 鈹、鎂
• 鈦、鈷、鋅、鋯、鎝、釕、鎘、鉿、錸、鋨
• 鈧、釔、鑭、鐠、釹、鉕、釓、鋱、鏑、鈥、鉺、銩

採用面心立方最密堆積的單質有：

• 鈣、鍶
• 鋁、鉛
• 氖、氬、氪、氙
• 鎳、銅、銠、鈀、銀、銥、鉑、金
• 鈰、鐿、錒、釷

參看

• 晶體化學
• 晶體結構