柯尼斯堡七橋問題
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5d/Konigsberg_bridges.png/300px-Konigsberg_bridges.png)
柯尼斯堡七橋問題(德語:Königsberger Brückenproblem;英語:Seven Bridges of Königsberg)是圖論中的著名問題。這個問題是基於一個現實生活中的事例:當時東普魯士柯尼斯堡(今日俄羅斯加里寧格勒)市區跨普列戈利亞河兩岸,河中心有兩個小島。小島與河的兩岸有七條橋連接。在所有橋都只能走一遍的前提下,如何才能把這個地方所有的橋都走遍?
解決方式
[編輯]萊昂哈德·歐拉在1735年提出,並沒有方法能圓滿解決這個問題,他更在第二年發表在論文《柯尼斯堡的七橋》中,證明符合條件的走法並不存在,也順帶提出和解決了一筆畫問題[1]。這篇論文在聖彼得堡科學院發表,成為圖論史上第一篇重要文獻。歐拉把實際的抽象問題簡化為平面上的點與線組合,每一座橋視為一條線,橋所連接的地區視為點。這樣若從某點出發後最後再回到這點,則這一點的線數必須是偶數,這樣的點稱為偶頂點。相對的,連有奇數條線的點稱為奇頂點。歐拉論述了,由於柯尼斯堡七橋問題中存在4個奇頂點,它無法實現符合題意的遍歷。
歐拉把問題的實質歸於一筆畫問題,即判斷一個圖是否能夠遍歷完所有的邊而沒有重複,而柯尼斯堡七橋問題則是一筆畫問題的一個具體情境。歐拉最後給出任意一種河──橋圖能否全部走一次的判定法則,從而解決了「一筆畫問題」。對於一個給定的連通圖,如果存在超過兩個的奇頂點,那麼滿足要求的路線便不存在了,且在n>0的情況下,有2n個奇頂點的圖至少需要n筆畫出。如果只有兩個奇頂點,則可從其中任何一地出發完成一筆畫。若所有點均為偶頂點,則從任何一點出發,所求的路線都能實現,他還說明了怎樣快速找到所要求的路線。[1]
不少數學家都嘗試去解析這類事例。而這些解析,最後發展成為了數學中的圖論。
現在的七座橋
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e8/Present_state_of_the_Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg.png/220px-Present_state_of_the_Seven_Bridges_of_K%C3%B6nigsberg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Old_cathedral_of_Kaliningrad_in_Russia.jpg/220px-Old_cathedral_of_Kaliningrad_in_Russia.jpg)
這七座橋之中,有兩座已經在二戰時的大轟炸中被損毀,另外兩座則被改建成快速公路。其餘三座則原址保留,當中又有一座於1935年被重建[2]。換言之,歐拉當時的七座橋,現在只剩下五座,令奇頂點只剩下兩個,所以可以一次過走完五座橋[3]。而從歐拉時代保存至今的就只有兩座。
資料來源
[編輯]- ^ 1.0 1.1 Janet Heine Barnett, Early Writings on Graph Theory: Euler Circuits and The KÄonigsberg Bridge Problem (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- ^ Taylor, Peter. What Ever Happened to Those Bridges?. Australian Mathematics Trust. December 2000 [11 November 2006]. (原始內容存檔於19 March 2012).
- ^ Stallmann, Matthias. The 7/5 Bridges of Koenigsberg/Kaliningrad. July 2006 [11 November 2006]. (原始內容存檔於2008-12-01).