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根軸

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根軸(英語:radical axis)是由兩個唯一確定的,與兩圓連心線垂直的直線,其定義為關於兩圓的圓冪相等的點的軌跡

性質

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幾何形狀及其位置的確定

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令向量分別為根軸上的點 、兩圓圓心的位置。則根軸的「曲線」方程為:

的定義和計算

從右等式可知根軸是一條垂直於連心線的直線。因內積大小僅由方向的分量決定,所以根軸是一條垂直於連心線的直線。

根軸在連心線上的垂足與圓心的距離分別滿足
,
其中 .

如果兩圓相交,則根軸為它們交點的連線;如果兩圓相切,則根軸為它們的公切線[1]:27

根心

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定義

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三個圓能畫出三條根軸,這三條根軸交於一點,稱為三個圓的根心,若三個圓的圓心共線,則其根心為垂直於連心線方向上的無窮遠點[1]:27

存在性的證明

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考慮三圓兩兩構成的三條根軸。令根軸以及根軸的交點。有


其中表示點關於圓的冪。

則知點關於的圓冪都相等,因此它在第三條根軸上,換言之,三條根軸共點,存在根心。

參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 Chen, Evan. 2.3 The Radical Axis and Radical Center (PDF). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 26–30 [2023-01-23]. ISBN 978-1-61444-411-4. MR 3467691. (原始內容存檔 (PDF)於2023-01-23). 

外部鏈結

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