能斯特-普朗克方程

能斯特-普朗克方程（英語：Nernst–Planck equation）是一個用來描述帶電荷的化學物質在流體中運動的方程。它拓展了菲克定律，可以描述粒子在擴散的同時因為靜電力而相對於流體移動的情況。

此方程因瓦爾特·能斯特和馬克斯·普朗克命名。

方程

它描述了同時受粒子濃度梯度和電場E = −∇φ −∂A/∂t影響的粒子流通量：

${\frac {\partial c}{\partial t}}=-\nabla \cdot J\quad |\quad J=-\left[D\nabla c-uc+{\frac {Dze}{k_{\mathrm {B} }T}}c\left(\nabla \phi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)\right]$

$\iff {\frac {\partial c}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D\nabla c-uc+{\frac {Dze}{k_{\mathrm {B} }T}}c\left(\nabla \phi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)\right]$

其中J是擴散通量密度， t是時間， D是化學物質的擴散率， c是物質的濃度， z是離子物質的化合價， e是元素電荷， k_B是玻爾茲曼常數， T是溫度$u$是流體的速度， $\phi$是電勢， $\mathbf {A}$是磁矢量勢。

如果擴散粒子本身帶電，它們就會受到電場的影響。因此，能斯特-普朗克方程可用於描述土壤中的離子交換動力學。

將時間導數設置為零，並將流體速度設置為零（僅離子在運動），

$J=-\left[D\nabla c+{\frac {Dze}{k_{\mathrm {B} }T}}c\left(\nabla \phi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)\right]$

在靜態電磁條件下，可得穩態能斯特-普朗克方程

$J=-\left[D\nabla c+{\frac {Dze}{k_{B}T}}c(\nabla \phi )\right]$

最後，以mol /（m ² ·s）為單位，帶入理想氣體常數R，可獲得更熟悉的方程形式：

$J=-D\left[\nabla c+{\frac {zF}{RT}}c(\nabla \phi )\right]$

其中F是等於N_Ae的法拉第常數。