在實分析中,達布定理(英語:Darboux's theorem)得名於讓·加斯東·達布。達布定理說明所有的實導函數(某個實值函數的導數)都具有介值性質:實導函數對任意區間的值域仍是區間。即是說,若f為可導函數,則對任意區間I,f′(I) 仍為區間。
當函數 f 是一階連續可導函數(C1)時,由介值定理,達布定理顯然成立。當導函數 f′ 不連續時,達布定理說明 f′ 仍具有介值性質。
19世紀時,大部分數學家認為介值定理已經可以刻畫出連續函數。但在1875年,讓·加斯東·達布證明這個想法是錯誤的,因為連續函數的導函數仍然具有介值性質,但不一定是連續函數。一個很常用的反例是函數:
當![{\displaystyle x\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35a455db7b2aab1b0e72ccbc7385e4424e2372e5)
當![{\displaystyle x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc)
其導數在
處並不連續。
設
為閉區間
上的實值可導函數,那麼對介於
和
之間的任意
,存在
屬於
使得
。
不失一般性,我們可假設
。又設
,則
。只需找到
在
上的一個零點即可。
由於
是
上的連續函數,由極值定理,
在
上達到極大值。由於
,極大值不在
處取到。同理,由於
,極大值也不在b處取到。設
為取到極大值的點,這時,
。於是定理得證。
- 萬麗 , 李少琪 , 閻慶旭,《微分達布(Darboux)定理的幾種新證法及其推廣》,《數學的實踐與認識》2003年11期
- 潘繼斌,《達布(Darboux)定理及其應用》,《湖北師範學院學報(自然科學版)》2000年01期