邊 (圖論)

在圖論中，邊（edges）是圖的基本單元之一，其與點共同組成了圖。一般的情況下，邊通常是連接兩個點的圖論元素，而在部分的情況下會只連接1個點（如非簡單圖）或連接3個或更多個點（如超圖），因此邊通常可以被定義為將點相連的元素，而被邊連接的點稱為端點。

分類

邊依照連接的點數量可以分為三類，其中一種稱為簡單邊，即這些邊連接2個相異的點。簡單圖的每一個邊皆為簡單邊。另一種為超邊（hyperedges），即這些邊連接3個或更多個點，通常出現於超圖中，其也可以依照其連接的邊數稱為多元邊，例如連接三個點的邊可稱為三元邊。另一類為只連接1個點的邊，或連接的兩點是相同點的邊，這種邊通常稱為自環。

而根據圖的有向性，邊又可以分成兩種，有向邊和無向邊。

簡單邊

在圖論中，簡單邊是指連接2個相異點的邊。簡單圖的每一個邊皆為簡單邊。更正式地，簡單邊可以定義為，有一個圖 $G$ 是一個二元組 $G=(V,E)$ ，其中 $V$ 是點集、 $E$ 是邊集，並且滿足 $E\subseteq \left\{\left\{x,y\right\}:(x,y)\in V^{2},x\neq y\right\}$ ，由所有無序點對構成（換句話說，邊連接了兩相異點），而這個連接了此兩個相異點的邊則稱為簡單邊。^[1]^[2]

超邊

在圖論中，超邊又稱超連結（hyperlinks）、接口或連接（connectors）^[3] 是指連接任意數量點的邊，其連接的點數量不一定為2個，可能是3個或更多。更正式地，超邊可以定義為，有一個超圖 $H$ 是一個二元組 $H=(X,E)$ ，其中 $X$ 是點集、 $E$ 是邊集，且邊集是 ${\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}$ 的子集、 ${\mathcal {P}}(X)$ 是 $X$ 的冪集，而 ${\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}$ 中的邊稱為超邊。

在不同領域中，超邊有許多不同的名稱，例如，在計算幾何學中，超邊又可以被稱為範圍（ranges）^[4]、在合作博弈論中，超邊又可稱為簡單博弈（simple games）^[5]。

自環

在圖論中，自環（Loop）是一條頂點與自身連接的邊^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]。而花束圖（英語：Bouquet_graph）中所有的邊皆為自環。^[12]

無向邊

若一個邊不具有方向性，則稱該邊為無向邊，其可以視為2個點的集合，或只有2個點的超邊。無向邊也可以在有向圖中存在，即雙向連結都存在的邊，例如有兩點A和B，若同時存在A到B的邊和B到A的邊，則這條邊在這個有向圖中可以稱為一個無向邊。

有向邊

在圖論中，有向邊又稱弧或箭。若一個邊具有方向性，則稱該邊為有向邊。有向邊通常會包含一個起點與終點。

有向邊也可以推廣到超圖中，其中一種對於有向超邊的定義為，有向超邊可以被定義為一個有序對(T,H)，其中T代表終點集、H代表起點集，H與T是兩不相交的集合。^[13]

與幾何學的關聯

在圖論中的邊與幾何學的邊不同，圖論中的邊是指連接點的抽象物件，不同於多邊形、多面體等幾何圖形的邊，幾何圖形的邊通常具有具體的線段或曲線，而圖論中的邊僅表達了哪些頂點要相連，哪些不用。^[14]

參見

邊 (幾何)

參考文獻

^ Bender, Edward A.; Williamson, S. Gill. Lists, Decisions and Graphs. With an Introduction to Probability. 2010 [2019-09-14]. （原始內容存檔於2020-10-19）.
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外部連結

埃里克·韋斯坦因. 邊. MathWorld.

[1] Bender, Edward A.; Williamson, S. Gill. Lists, Decisions and Graphs. With an Introduction to Probability. 2010 [2019-09-14]. （原始內容存檔於2020-10-19）.

[2] See, for instance, Iyanaga and Kawada, 69 J, p. 234 or Biggs, p. 4.

[3] Judea Pearl, in HEURISTICS Intelligent Search Strategies for Computer Problem Solving, Addison Wesley (1984), p. 25

[4] Haussler, David; Welzl, Emo, ε-nets and simplex range queries, Discrete and Computational Geometry, 1987, 2 (2): 127–151, MR 0884223, doi:10.1007/BF02187876

[peleg02hbscw-5] Peleg, B. Chapter 8 Game-theoretic analysis of voting in committees. Handbook of Social Choice and Welfare Volume 1. Handbook of Social Choice and Welfare 1. 2002: 195–201. ISBN 9780444829146. doi:10.1016/S1574-0110(02)80012-1.

[6] Balakrishnan, V. K.; Graph Theory, McGraw-Hill; 1 edition (February 1, 1997). ISBN 0-07-005489-4

[7] Bollobás, Béla; Modern Graph Theory, Springer; 1st edition (August 12, 2002). ISBN 0-387-98488-7

[8] Diestel, Reinhard; Graph Theory, Springer; 2nd edition (February 18, 2000). ISBN 0-387-98976-5

[9] Gross, Jonathon L, and Yellen, Jay; Graph Theory and Its Applications, CRC Press (December 30, 1998). ISBN 0-8493-3982-0

[10] Gross, Jonathon L, and Yellen, Jay; (eds); Handbook of Graph Theory. CRC (December 29, 2003). ISBN 1-58488-090-2

[11] Zwillinger, Daniel; CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, Chapman & Hall/CRC; 31st edition (November 27, 2002). ISBN 1-58488-291-3

[bw-12] Beineke, Lowell W.; Wilson, Robin J., Topics in topological graph theory, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 128, Cambridge University Press, Cambridge: 5, 2009, ISBN 978-0-521-80230-7, MR 2581536, doi:10.1017/CBO9781139087223

[gallo-13] G. Gallo, G. Longo, S. Nguyen, S. Pallottino, Directed hypergraphs and applications, DOI link, Citeseer link.

[14] Senechal, Marjorie, Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination, Springer: 81, 2013 [2019-09-14], ISBN 9780387927145, （原始內容存檔於2014-01-07） .

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