鏡面反射 (數學)

設α為n維歐氏空間V上的單位向量，稱線性變換S_α=ξ-2(ξ,α)α（∀ξ∈V）為n維歐氏空間V的一個鏡面反射。

基本性質

1. 鏡面反射是正交變換。
2. 鏡面反射的逆變換為鏡面反射。
3. 任意一個正交變換都可以表示成若干個鏡面反射的乘積。

主要定理

1. 設S為n維歐氏空間V上的正交變換。則S為鏡面反射的充要條件：S以1為特徵值，且S 屬於1的特徵子空間V₁為n-1維
   • 此定理說明n維歐氏空間V上的鏡面反射S_α是向量對以α為法向量的n-1維子空間的反射。
2. 矩陣A=E_n-2uu′，其中u為n 維列向量，且u′u=1。
   1. S_α為n維歐氏空間V的鏡面反射，則S_α在V的任一標準正交基礎下的矩陣為A；
   2. n維歐氏空間V的正交變換S在V的某一標準正交基下的矩陣為A，則S為V的鏡面反射。
   3. 設σ為n維歐氏空間V的任一正交變換，則σ可表成一些鏡面反射的乘積。

資料來源

1. 北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1988.
2. 張禾瑞、郝炳新.高等代數(第四版)[M].北京:高等教育出版社,1997.1998