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高斯-盧卡斯定理

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高斯-盧卡斯定理,又稱盧卡斯定理,該定理描述了係數多項式的一個性質:多項式導數一定在原多項式的根所構成的凸包內。

這一結論曾在1836年被高斯直接使用,1874年由菲利克斯·盧卡斯英語Félix Lucas證明[1]

動機

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二次多項式 的導數的根為原多項式的兩個根的平均數。

同樣地,如果一個 次多項式有  個兩兩不同的實值零點,根據羅爾定理,其導數的每個零點都位於區間 之中。

高斯-盧卡斯定理可以看成這一性質在復係數多項式上的推廣。

表述

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設  是一個非常數的複係數多項式,那麼的所有根都屬於由的根構成的凸包。

證明

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將多項式函數P寫成複數下的不可約形式: ,其中複數 是多項式的主係數、 是多項式的根、 為各個根的重數。

首先注意到:

假設複數滿足:

因此:

乘以共軛取模

寫成如下形式:

此時,可以將看成是個位於 的質點的重心,因此在其構成的凸包內。

另一種情況下的證明是顯然的。

參考

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  1. ^ Félix Lucas. Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations. C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. 1879, LXXXIX: 224–226 [2016-11-07]. (原始內容存檔於2023-03-01). 

相關定理

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