Q導數

Q導數也稱為傑克遜導數，乃是一般導數的Q模擬，由英國數學家F. H. Jackson創立。

定義

函數f(x)的q-導數定義如下：

$\left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.$

或書寫為 $D_{q}f(x)$.

$D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,$

當as q → 1時，化為尋常的導數, → ^d⁄_dx,

關係式

q-導數算符是一個線性算子：

$\displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.$

$\displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).$

$\displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.$

若 $g(x)=cx^{k}$. 則

$\displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).$

q-導數 的本徵值是q-指數 e_q(x).

與導數的關係

$\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}$

其中 $[n]_{q}$ 是n的 q括號

並且 $\lim _{q\to 1}[n]_{q}=n$ .

一個函數的n階導數為：

$(D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!$

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}$

例子

$D_{q}sin(x)={\frac {\sin \left(qx\right)-\sin \left(x\right)}{\left(q-1\right)x}}$

q derivative of sin(x)

q derivative of sin(x) 3D plot

q derivative of sin(x) 2D animation

q derivative of sin(x) density plot

$D_{q}tanh(x)={\frac {\tanh \left(qx\right)-\tanh \left(x\right)}{\left(q-1\right)x}}$

q derivative of tanh(x) animation

q derivative of tanh(x) 3D

q derivative of tanh(z) complex 3D

q derivative of tanh(z) 2D density

參見

• Derivative (generalizations)
• 傑克遜積分
• Q指數
• Q-差值積分
• 量子微積分
• Tsallis entropy

參考文獻

• F. H. Jackson (1908), On q-functions and a certain difference operator, Trans. Roy. Soc. Edin., 46 253-281.

• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538

• Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum Calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8

延伸閱讀

• J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, (1999) ArXiv math/9908140
• Thomas Ernst, The History of q-Calculus and a new method,(2001),