非時變系統是输出不會直接隨著时间变化的系统。
- 如果输入信号
产生输出
,那么对于任意时间延遲的输入
将得到相同时间延遲的输出
。
如果系统的传递函数不是时间的函数,就可以满足这个特性。这个特性也可以用示意图的术语进行描述
- 如果一个系统是时不变的,那么系统框图与任意延时时刻的框图都是可以互换的。
为了表明如何确定系统是时不变系统,以下來看两个系统:
- 系统A:
![{\displaystyle y(t)=t\,x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6481c5648020491664114380e416e05b373f6d59)
- 系统B:
![{\displaystyle y(t)=10\cdot x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be6262c80fb83ff200f608c8971ac6b9f1bd9808)
由于系统A除了
与
之外还显式地依赖于t所以它是时变系统,而系统B没有显式地依赖于时间t所以它是时不变的。
下面将给出系统A和B更加正式的证明。为了完成这个证明,我们需要使用第二个定义。
系统A:
- 使用延时的信号作为输入
![{\displaystyle y(t)=t\,x_{d}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c3a0ea3d8d454aa3dfc55b74a0b1fb6585240c)
![{\displaystyle y_{1}(t)=t\,x_{d}(t)=t\,x(t+\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc4c3e80e7adc14ec57106a358984fe3e757ad1)
- 那么输出延时
![{\displaystyle y(t)=t\,x_{d}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c3a0ea3d8d454aa3dfc55b74a0b1fb6585240c)
![{\displaystyle y_{2}(t)=\,\!y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec9ea0a4336188fc20a3b277f5aef5ad1e787db)
- 很显然
,所以系统是时变系统(time-varying)。
系统B:
- 以延时的信号作为输入
![{\displaystyle y(t)=10\,x_{d}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2db043cee0c29d53d24599c8753b24c57fc73c6)
![{\displaystyle y_{1}(t)=10\,x_{d}(t)=10\,x(t+\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906af5167bfc85f14f351f8bd768b48f04c86bb7)
- 现在输出延时
![{\displaystyle y(t)=10\,x_{d}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2db043cee0c29d53d24599c8753b24c57fc73c6)
![{\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=10\,x(t+\delta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90812b5493d1eef0dd694c53814594ad297fa9eb)
- 显然
,所以系统是非時變(time-invariant)的。尽管有其它方法可以证明这一点,但这是最容易的方法。
我们用
表示移位算子,其中
是矢量变址组需要移位的数值,例如“前进1步”的系统
![{\displaystyle x(t+1)=\,\!\delta (t+1)*x(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a32a9100ebbcca784e5fdcb75b556393c2f73b90)
可以用这个抽象表示
![{\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}\,{\tilde {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2090aa70d03a374bf21433d0ea20165b17dc615b)
其中
是
![{\displaystyle {\tilde {x}}=x(t)\,\forall \,t\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb7ddf558ca8cd87496167e697b726a30d5e94ed)
以及产生系统移位输出
![{\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\,\forall \,t\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64874c53c05a899a6742903805efe8a298ab3f00)
所定义的函数,这样
就是输入矢量增加1的算子。
假设我们用算子
表示一个系统,如果系统与移位算子是可交换的,那么它就是时不变的,例如
![{\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} =\mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,\,\forall \,r}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2cee7f141f3ee7723eea7f46a5b1c880f865f2d)
如果系统方程是
![{\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73baddc615b3f352155e27ca39e6201f86307176)
并且如果我们可以将系统算子
首先对
进行运算,然后再用移位算子
进行运算,或者首先用移位算子
,然后再用系统算子
进行运算,并且这两种方法的结果等价,那么系统就是时不变的。
首先用系统算子进行运算将得到
![{\displaystyle \mathbb {T} _{r}\,\mathbb {H} \,{\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65931e30892883ef3e98398b7f17b5fdc9318256)
首先用移位算子将得到
![{\displaystyle \mathbb {H} \,\mathbb {T} _{r}\,{\tilde {x}}=\mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf129c39b955eda06b84d5c375774ede7e73f5d1)
如果系统是时不变的,那么
![{\displaystyle \mathbb {H} \,{\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff85035a0d6fd0e91537806d460ba4b7efcfad02)