跳转到内容

陳-韋伊同態

维基百科,自由的百科全书

數學上,陳-韋伊同態(英語:Chern–Weil homomorphism)是陳-韋伊理論的基本構造,將一個光滑流形M的曲率聯繫到M德拉姆上同調群,也就是從幾何到拓撲。這個理論由陳省身安德烈·韋伊於1940年代建立,是發展示性類理論的重要步驟。這個結果推廣了陳-高斯-博內定理

實數域複數域。設G為實或複李群,有李代數,又記

上的-值多項式的代數。設為在G伴隨作用的不動點的子代數,故對所有

陳-韋伊同態是從到上同調代數的一個-代數同態。這個同態存在,且對M上任何G-叢P有唯一定義。若G緊緻,則於此同態下,G-叢BG分類空間的上同調環同構於不變多項式的代數

對於如SL(n,R)的非緊緻群,可能有上同調類無不變多項式的表示。

同態的定義

[编辑]

P 中任何聯絡形式w,設為相伴的曲率2-形式。若k次齊次多項式,設 P上的2k-形式,以下式給出

其中是2k個數的對稱群中置換的符號。(見普法夫值。)

可證

閉形式,故

德拉姆上同調類獨立於在P上的聯絡的選取,故只依賴於主叢。

因此設

是由上從f得出的上同調類,故有代數同態

參考

[编辑]
  • Bott, R., On the Chern–Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups, Advances in Math, 1973, 11: 289–303, doi:10.1016/0001-8708(73)90012-1 .
  • Chern, S.-S., Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes, 1951 .
  • Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.
    The appendix of this book: "Geometry of Characteristic Classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes.
  • Chern, S.-S.; Simons, J, Characteristic forms and geometric invariants, The Annals of Mathematics. Second Series, 1974, 99 (1): 48–69, JSTOR 1971013 .
  • Kobayashi, S.; Nomizu, K., Foundations of Differential Geometry, Vol. 2, Wiley-Interscience, 1963new ed. 2004  .
  • Narasimhan, M.; Ramanan, S., Existence of universal connections, Amer. J. Math., 1961, 83: 563–572, JSTOR 2372896, doi:10.2307/2372896 .
  • Morita, Shigeyuki, Geometry of Differential Forms, A.M.S monograph, 2000, 201 .