条件收敛

条件收敛是数学中无穷级数的一种性质。收敛但不绝对收敛的无穷级数称为条件收敛的级数。

详细定义

给定一个实数项无穷级数$A=\sum _{n}a_{n}$，如果它自身收敛于一个定值$C\in \mathbb {R}$：

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=C,$

但由每一项的绝对值构成的正项级数：$A_{s}=\sum _{n}|a_{n}|$不收敛：

$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\infty ,$

那么就称这个无穷级数$A=\sum _{n}a_{n}$是一个条件收敛的无穷级数。

例子

常见的条件收敛的无穷级数包括交错调和级数：

$A_{h}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}=\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

它收敛到定值：$\ln 2$，而对应的由每项的绝对值构成的正项函数：

$H=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}$

叫做调和级数，是发散的。

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty .$

最常见的一类条件收敛的无穷级数是交错级数，即每相邻的两项都是正负不同号，而且项的绝对值趋向0的级数：

$A=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\cdots ,\quad \forall n\in \mathbb {N} ,a_{n}\geqslant 0,\quad n\rightarrow \infty \implies a_{n}\to 0.$

相关定理

• 黎曼级数定理：假设$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数$C$，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列$\sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)$，使得

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.$

此外，也存在另一种排列$\sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)$，使得

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .$

类似地，也可以有办法使它的部分和趋于$-\infty$，或没有任何极限。

反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。

参见

• 无条件收敛
• 绝对收敛