庞特里亚金最大化原理

庞特里亚金最大化原理（Pontryagin's maximum principle）也有稱為庞特里亚金最小化原理，是最优控制中的理論，是在狀態或是輸入控制項有限制條件的情形下，可以找到將动力系统由一個狀態到另一個狀態的最優控制信號。此理論是蘇俄數學家列夫·庞特里亚金及他的學生在1956年提出的。這是变分法中歐拉-拉格朗日方程的特例。

簡單來說，此定理是指在所有可能的控制中，需讓「控制哈密頓量」（control Hamiltonian）取極值，極值是最大值或是最小值則依問題以及哈密頓量的符號定義而不同。正式的用法，也就是哈密頓量中所使用的符號，會取到最大值，但是此條目中使用的符號定義方式，會讓極值取到最小值。

若${\mathcal {U}}$是所有可能控制值的集合，則此原理指出，最優控制$u^{*}$必須滿足以下條件：

$H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t),t)\leq H(x^{*}(t),u,\lambda ^{*}(t),t),\quad \forall u\in {\mathcal {U}},\quad t\in [t_{0},t_{f}]$

其中$x^{*}\in C^{1}[t_{0},t_{f}]$是最佳狀態軌跡，而$\lambda ^{*}\in BV[t_{0},t_{f}]$是最佳 協態軌跡

此結果最早成功的應用在輸入控制有限制條件的最小時間問題中，不過也可以用在狀態有限制條件的問題中。

也可以推導控制哈密頓量的特殊條件。若最終時間$t_{f}$固定，且控制哈密頓量不是時間的顯函數$\left({\tfrac {\partial H}{\partial t}}\equiv 0\right)$，則：

$H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t))\equiv \mathrm {constant} \,$

若最終時間沒有限制，則：

$H(x^{*}(t),u^{*}(t),\lambda ^{*}(t))\equiv 0.\,$

若在某一軌跡上滿足庞特里亚金最大化原理，此原理是最佳解的必要条件。哈密顿-雅可比-贝尔曼方程 提供了最佳解的充份必要條件，但該條件須在整個狀態空間中都要成立。

參考資料

• Boltyanskii, V. G.; Gamkrelidze, R. V.; Pontryagin, L. S. К теории оптимальных процессов [Towards a Theory of Optimal Processes]. Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1956, 110 (1): 7–10. MR 0084444 （俄语）. 
• Pontryagin, L. S.; Boltyanskii, V. G.; Gamkrelidze, R. V.; Mishchenko, E. F. The Mathematical Theory of Optimal Processes. English translation. Interscience. 1962. ISBN 2-88124-077-1. 
• Fuller, A. T. Bibliography of Pontryagin's maximum principle. J. Electronics & Control. 1963, 15 (5): 513–517. 
• Kirk, D. E. Optimal Control Theory: An Introduction. Prentice Hall. 1970. ISBN 0-486-43484-2. 
• Sethi, S. P.; Thompson, G. L. Optimal Control Theory: Applications to Management Science and Economics 2nd. Springer. 2000. ISBN 0-387-28092-8.  Slides are available at [1]
• Geering, H. P. Optimal Control with Engineering Applications. Springer. 2007. ISBN 978-3-540-69437-3. 
• Ross, I. M. A Primer on Pontryagin's Principle in Optimal Control. Collegiate. 2009. ISBN 978-0-9843571-0-9. 
• Cassel, Kevin W. Variational Methods with Applications in Science and Engineering. Cambridge University Press. 2013. 

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (编), Pontryagin maximum principle, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4