交叉數

希伍德圖的一個畫法，其有三個交叉。此為所有畫法中，交叉個數的最小可能值，所以該圖的交叉數為 ${\text{cr}}(G)=3$。

在圖論，交叉數${\text{cr}}(G)$是將圖$G$畫在平面上時，邊的交叉點的最小數目。若${\hbox{cr}}(G)=0$，則$G$稱為平面圖。在圖形製圖方面，計算圖的交叉數仍是一個重要問題，因為讀者研究發現，畫圖的交叉越少，越有利於讀者理解。

交叉數的研究始於圖蘭磚廠問題。圖蘭·帕爾想求磚廠中，將每個窯爐各與全部貨倉用路軌連接的最優方案，使路軌的交叉儘可能少。按上述定義，即是問完全二部圖的交叉數。同一問題約莫同時在社會學研究提出，因為事關社會關係圖的繪製。 圖蘭猜想了完全二部圖交叉數的公式，但該公式迄今未獲證，完全圖的交叉數公式亦然。

交叉數不等式斷言，若邊數$e$与頂點數$n$的比值大于某个常数，則交叉數不小于$e^{3}/n^{2}$乘以另一个固定的常数。此結論在超大规模集成电路設計與組合幾何方面有應用。

如無特別註明，交叉數允許使用任意曲線來畫邊。另一個相關概念是直線交叉數，其要求僅使用直線段來畫邊，所以未必等於交叉數。更具體說，完全圖$K_{n}$的直線交叉數就是平面上處於一般位置的$n$個點所能組成的凸四邊形的最少數目，因為每個凸四邊形的兩條對角線產生一個交叉。直線交叉數問題與幸福結局問題密切相關。

給定一個圖，計算其交叉數是一個NP難問題。

定義

定義交叉數之前，先定義無向圖的畫法。圖的畫法是一個映射，其將圖的頂點映到平面上互異的點，並將每條邊映到一條連接其兩端的曲線段，但頂點不能映到其他邊上（除非該邊以其為頂點），且若兩條邊的曲線段在公共頂點以外相交，則其僅產生有限多個交叉，並於每個交叉處橫截相交。若一個交叉點有多於兩條邊相交，則每對相交邊計算一次。圖的交叉數是所有畫法當中，交叉的數目的最小值。

一些作者對於畫法有更多限制，例如要求每對邊的交集至多只有一點（可為公共端點或交叉）。對於上段定義的交叉數，此項限制沒有任何影響，因為交叉最少的畫法當中，兩條邊必定相交至多一次。（若兩條邊有公共端點，而且相交，則可以將首個交點以前的兩段曲線互換，從而減少一個交叉。類似地，若兩條邊有兩個或更多交叉，則可以將相鄰兩個交叉之間的兩段曲線互換，以減少兩個交叉。）然而，若考慮交叉數的變式定義，例如只計算有多少對邊交叉（稱為兩兩交叉數），而非有多少個交叉，則上述限制確實會影響兩兩交叉數的值。

特殊情況

截止2015年4月，僅得很少幾類圖的交叉數為人所知。即使是完全圖、完全二部圖、兩個環的積等結構較簡單的圖，也僅得初始幾個的交叉數是已知的，但交叉數的下界方面，已有一定進展。

完全二部圖

$K_{4,7}$的一個最優畫法，顯示圖蘭磚廠問題中，若有4個倉（黃點）和7個窯（藍點），則需要18個交叉（紅點）。

主条目：圖蘭磚廠問題

在第二次世界大戰期間，匈牙利數學家圖蘭·帕爾被迫在磚廠工作，要將一車車的磚從窯爐推到貨倉。工廠的每個窯爐到每個貨倉之間各有一條路軌，而磚車在路軌交叉處特別難推。於是，圖蘭提出其磚廠問題：窯爐、貨倉和路軌應如何安排，才能使交叉的數目最少？數學上，窯爐和貨倉可視為完全二部圖的頂點，而路軌則是二部圖的邊。於是工廠的佈局就是該圖在平面上的一個畫法，換言之問題變成： 完全二部圖的畫法中，交叉的最少數目是多少？

卡齊米日·扎蘭凱維奇嘗試解決圖蘭磚廠問題，但其證明有錯。不過，他成功推導出完全二部圖$K_{m,n}$交叉數的一個上界：

${\textrm {cr}}(K_{m,n})\leq \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {m}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor .$

一個猜想是，上述上界確實是所有完全二部圖的交叉數。

完全圖與圖染色

完全圖的交叉數問題最先由安東尼·希爾提出，並於1960年出版。希爾及其合作者約翰·恩斯特皆為對數學甚感興趣的構成主義藝術家。兩位不僅提出了問題，還猜想了該交叉數的公式，公式由理查·蓋於1960年出版。具體來說，已知$K_{p}$總有一種畫法，其交叉的數目為

${\frac {1}{4}}\left\lfloor {\frac {p}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {p-1}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {p-2}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {p-3}{2}}\right\rfloor .$

上式在$p=5,6,\cdots ,12$時，取值分別為$1,3,9,18,36,60,100,150$，見整數數列線上大全的A000241號數列。希爾等人猜想，不存在更好的畫法，即上式給出了完全圖的交叉數${\text{cr}}(K_{p})$。湯瑪士·沙提於1964年獨立地作出了同一個猜想。

對於$p\leq 10$，沙提驗證了上式確實給出交叉的最小可能數目。潘（Shengjun Pan)和布魯斯·里希特（Bruce Richter）驗證了$p=11,12$的情況。

2007年，米高·艾伯森（Michael O. Albertson）提出了艾伯森猜想，其斷言：在所有色數為$p$的圖之中，完全圖$K_{p}$的交叉數最小。換言之，若此猜想與上段的猜想均成立，則每個染色數為$p$的圖，交叉數皆不小於上段的公式。現已證明，艾伯森猜想對於$p\leq 16$成立。

立方圖

已知交叉數為$1$至$11$的最小的立方圖，其頂點數分別為$6,10,14,16,18,20,22,24,26,28,28$（OEIS數列A110507），如下表所記：

交叉數	最小立方圖例子	頂點數
1	完全二部圖$K_{3,3}$	4
2	佩特森圖	10
3	希伍德圖	14
4	莫比烏斯－坎特圖	16
5	帕普斯圖	18
6	笛沙格圖	20
7	有4個不同構的例子，但並無熟知命名	22
8	瑙魯圖、麥基圖、(3,7)-籠圖	24
9	麥基圖加某一條邊	26
10	麥基圖加某兩條邊	28
11	考克斯特圖	28

2009年，愛德華·柏奇和Geoffrey Exoo猜想交叉數為13的最小立方圖為塔特－考克斯特圖，以及交叉數為170的最小立方圖為塔特12-籠。

複雜度與近似

一般情況下，很難計算圖的交叉數。米高·加里和大衛·詹森於1983年證明了計算交叉數是NP難問題。即使僅考慮立方圖，或者僅考慮將近平面的特殊情況（即可藉刪走一條邊使之變成平面圖），問題仍然NP難。另一個相關問題是計算僅能使用直線段畫圖時，交叉數目的最小值。該最小值稱為直線交叉數（rectilinear crossing number）。該問題對於實數的存在理論是完全的。

另一方面，對於固定的常數k，有高效算法判定交叉數是否小於k。換言之，交叉數問題是固定參數可馴順的。但若k不是常數，而是與輸入大小有關的函數，例如k = |V|/2，則問題仍然很難。對於度數有界的圖G，有高效的近似算法能夠近似計算交叉數cr(G)。實務上，常使用啟發式算法，例如從空圖開始，逐條邊加入，使得每次產生的交叉數儘可能小。直線交叉數分布式计算計劃（Rectilinear Crossing Number project）使用了此類算法。

交叉數不等式

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交叉數不等式說明了給定邊數目$e$和頂點數目$v$，${\hbox{cr}}(G)$的下界。

已知平面圖都符合$v-e+f=2$（歐拉公式）。考慮邊面的對應數目，每條邊剛好屬於某兩個面，而每個面最小有三條邊，因此對於平面圖有$3f\leq 2e$。為了消去$f$，代入$f=2+e-v$，得$e\leq 3v-6$。

再考慮一般圖$G$，如何將它「變成」平面圖。如果我們在每個相交點，都去掉一條邊，則剩下的圖必是平面圖。這個新的平面圖的邊數目為$e-{\hbox{cr}}(G)$，而頂點數目v不變。因此，對於所有的圖都有

${\hbox{cr}}(G)\geq e-3v+6$

接下來使用機率方法，從G中構作一個新的圖。考慮在G所有頂點中選取某些點作為新圖G'的頂點；若G中的某一條邊的兩個端點都在V(G')內，則E(G')亦有該條邊；因此，G中的一個交點仍然存在在G'中的條件，是該交點涉及的2條邊的4個不同端點都保留在G'中。現在隨機選取G中的pv個頂點（$0<p\leq 1$），則 $|V(G')|=pv,|E(G')|=p^{2}e,|V(G')|=p^{4}{\hbox{cr}}(G)$，代入上面的不等式：

$p^{4}{\hbox{cr}}(G)\geq p^{2}e-3pv+6$

${\hbox{cr}}(G)\geq p^{-2}e-3p^{-3}v+6p^{-4}$

求${\hbox{cr}}(G)$的下界，希望能使上面的不等式右方儘可能大。

當$e$相當大時，考慮$e\geq 4v$，可以取$p=4v/e$，整理後得：

${\hbox{cr}}(G)\geq e^{3}/64v^{2}$

變式

若僅允許用直線段畫邊，而非任意曲線，則一些圖需要更多交叉才能畫出。對於此類畫法，交叉數目的最小可能值稱為直線交叉數。直線交叉數必不小於交叉數，甚至對某些圖而言，直線交叉數嚴格大於交叉數。完全圖$K_{5}$至$K_{12}$的直線交叉數依序為$1,3,9,19,36,62,102,153$（OEIS數列A014540）。已知直至$K_{27}$的直線交叉數，而$K_{28}$則可能需要7233或7234個交叉。直線交叉數分布式计算計劃（Rectilinear Crossing Number project）收集了更多數據。

若一個圖有畫法使得每條邊至多$k$個交叉，但$k$不能更少，則稱$k$為其局部交叉數（local crossing number）。若圖有畫法使每條邊至多$k$個交叉，則稱其為$k$-平面圖（$k$-planar）。

其他變式包括兩兩相交數（pairwise crossing number，即任何畫法中，有交叉的邊對數目的最小可能值）和奇相交數（odd crossing number，即任何畫法中，交叉次數恰為奇數的邊對數目的最小可能值）奇相交數不大於兩兩相交數，兩兩相交數也不大於相交數。然而，哈納尼-塔特定理說明，若這三個數中有任何一個為零，則皆為零。 Schaefer （2014, 2018）綜述了許多變式。

參考

• http://terrytao.wordpress.com/2007/09/18/the-crossing-number-inequality/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）