伯努利不等式

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數學中的伯努利不等式是說:對任意整數n \ge 0,和任意實數x \ge -1

(1+x)^n \ge 1+nx

如果n \ge 0偶數,則不等式對任意實數x成立。

可以看到在n=0,1,或x=0時等號成立,而對任意正整數n \ge 2和任意實數x \ge -1x \ne 0,有嚴格不等式:

(1+x)^n > 1+nx\,

伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。

證明和推廣[编辑]

伯努利不等式可以用數學歸納法證明:當n=0, 1,不等式明顯成立。假設不等式對正整數n,實數x \ge -1時成立,那麼

(1+x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \ge (1+x)(1+nx)
= 1+(n+1)x+nx^2 \ge 1+(n+1)x

下面是推廣到實數的版本:如果x>-1,那麼:

r \le 0r \ge 1,有(1+x)^r \ge 1 + rx
0 \le r \le 1,有(1+x)^r \le 1 + rx

這不等式可以用導數比較來證明:

r=0,1時,等式顯然成立。

(-1,\infty)上定義f(x)=(1+x)^r - (1+rx),其中r \ne 0,1, 對x求导得f'(x)=r(1+x)^{r-1} - r, 則f'(x)=0當且僅當x=0。分情況討論:

  1. 0<r<1,則對x > 0f'(x)<0;對-1<x<0f'(x)>0。因此f(x)x=0時取最大值0,故得(1+x)^r \leq 1+rx
  2. r<0r>1,則對x > 0f'(x)>0;對-1<x<0f'(x)<0。因此f(x)x=0時取最小值0,故得(1+x)^r \geq 1+rx

在這兩種情況,等號成立當且僅當x=0

相關不等式[编辑]

下述不等式從另一邊估計(1+x)^r:對任意x,\mbox{ }r>0,都有

(1+x)^r < e^{rx}\,