勒貝格微分定理

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數學上,勒貝格微分定理實分析的一條定理。這條定理大致是說,一個局部可積函數在幾乎每點的值,都是函數在該點為中心的無限小的球上的平均。換言之,該函數的定義域上幾乎處處都是勒貝格點

定理敘述[编辑]

f\in \mathrm {L^1_{loc}}(\mathbb R^k)為局部可積函數,m\mathbb R^k勒貝格測度。那麼\mathbb R^k幾乎處處x都符合

\lim_{r\to 0}\frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}\left| f(y)-f(x) \right| dm(y)=0

證明[编辑]

因為這定理是關於函數的局部性質,不失一般性,可假設函數f定義在有界集合中,故f為可積函數。

定義

(T_r f)(x)=\frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}\left| f(y)-f(x) \right| dm(y)
(Tf)(x)=\limsup_{r\to 0}(T_r f)(x)

那麼這定理就是對幾乎處處的xTf = 0。只需證對任何y > 0,集合{Tf > y}的測度為零。

連續函數,這定理顯然成立。連續函數在\mathrm L^1(\mathbb R^k)稠密,故此對任意正整數n,有連續函數g使得\|f-g\|_{\mathrm L^1} < 1/n

h=f-g。由於g連續,有Tg = 0。

三角不等式

(T_r h)(x)\leq \frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}\left| h \right| dm +|h(x)|

Mh=\sup_{r>0}\frac 1 {m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}\left| h \right| dm。(Mhh哈代-李特爾伍德極大函數。)從上式得

Th \leq Mh + |h|

因為T_r f \leq T_r g+T_r h=T_r h,所以有

Tf \leq Th \leq Mh +|h|

Tf > y,則有Mh > y/2或者|h| > y/2。因此\{Tf > y\}\subset \{Mh>y/2\} \cup \{|h|>y/2\}

哈代-李特爾伍德極大不等式

m\{Mh>y/2\}\leq 3^k (2/y)\|h\|_{\mathrm L^1}<3^k\cdot 2/(ny)

由積分的基本性質有

m\{|h|>y/2\}y/2 \leq \|h\|_{\mathrm L^1}

故得

m\{|h|>y/2\} \leq 2/(ny)

因此

\begin{align}& m\{Tf>y\} \\
&\leq m\{Mh>y/2\}+m\{|h|>y/2\} \\
&< 2(3^k+1)/(ny)\end{align}

因為上式對所有正整數n成立,從而知m{Tf > y}=0。定理得證。

參考[编辑]

  • Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.