双线性插值

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雙線性插值,又稱為雙線性內插。在数学上,双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展,其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。

红色的数据点与待插值得到的绿色点

假如我们想得到未知函数 f 在点 P=\left( x, y\right) 的值,假设我们已知函数 fQ_{11} = \left( x_1, y_1 \right) , Q_{12} = \left( x_1, y_2 \right) , Q_{21} = \left( x_2, y_1 \right) , 及 Q_{22} = \left( x_2, y_2 \right) 四个点的值。

首先在 x 方向进行线性插值,得到

 f(R_1) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) \quad\mbox{Where}\quad R_1 = (x,y_1),
 f(R_2) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}) \quad\mbox{Where}\quad R_2 = (x,y_2).

然后在 y 方向进行线性插值,得到

 f(P) \approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(R_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(R_2).

这样就得到所要的结果 f \left( x, y \right),

 f(x,y) \approx \frac{f(Q_{11})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y_2-y) + \frac{f(Q_{21})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y_2-y)
  + \frac{f(Q_{12})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y-y_1) + \frac{f(Q_{22})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y-y_1).

如果选择一个坐标系统使得 f 的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1),那么插值公式就可以化简为

 f(x,y) \approx f(0,0) \, (1-x)(1-y) + f(1,0) \, x(1-y) + f(0,1) \, (1-x)y + f(1,1) xy.

或者用矩阵运算表示为

 f(x,y) \approx \begin{bmatrix}
1-x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
f(0,0) & f(0,1) \\
f(1,0) & f(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
1-y \\
y \end{bmatrix}

与这种插值方法名称不同的是,这种插值方法的结果通常不是线性的,它的形式是

 b_1 + b_2 x + b_3 y + b_4 x y. \,

常数的数目都对应于给定的 f 的数据点数目

 b_1 = f(0,0)
 b_2 = f(1,0) - f(0,0)
 b_3 = f(0,1) - f(0,0)
 b_4 = f(1,1) - f(1,0) - f(0,1) + f(0,0)

线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行 y 方向的插值,然后进行 x 方向的插值,所得到的结果是一样的。


图像的双线性插值放大算法中,目标图像中新创造的象素值,是由源图像位置在它附近的2*2区域4个邻近象素的值通过加权平均计算得出的。双线性内插值算法放大后的图像质量较高,不会出现像素值不连续的的情况。然而次算法具有低通滤波器的性质,使高频分量受损,所以可能会使图像轮廓在一定程度上变得模糊.

双线性插值的一个显然的三维空间延伸是三线性插值

参见[编辑]