双线性插值

雙線性插值，又稱為雙線性內插。在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。

红色的数据点与待插值得到的绿色点

假如我们想得到未知函数 $f$ 在点 $P=\left( x, y\right)$ 的值，假设我们已知函数 $f$ 在 $Q_{11} = \left( x_1, y_1 \right)$ , $Q_{12} = \left( x_1, y_2 \right)$ , $Q_{21} = \left( x_2, y_1 \right)$ , 及 $Q_{22} = \left( x_2, y_2 \right)$ 四个点的值。

首先在 x 方向进行线性插值，得到

$f(R_1) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) \quad\mbox{Where}\quad R_1 = (x,y_1),$

$f(R_2) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}) \quad\mbox{Where}\quad R_2 = (x,y_2).$

然后在 y 方向进行线性插值，得到

$f(P) \approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1} f(R_1) + \frac{y-y_1}{y_2-y_1} f(R_2).$

这样就得到所要的结果 $f \left( x, y \right)$ ,

$f(x,y) \approx \frac{f(Q_{11})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y_2-y) + \frac{f(Q_{21})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y_2-y)$

$+ \frac{f(Q_{12})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y-y_1) + \frac{f(Q_{22})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y-y_1).$

如果选择一个坐标系统使得 $f$ 的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1)，那么插值公式就可以化简为

$f(x,y) \approx f(0,0) \, (1-x)(1-y) + f(1,0) \, x(1-y) + f(0,1) \, (1-x)y + f(1,1) xy.$

或者用矩阵运算表示为

$f(x,y) \approx \begin{bmatrix} 1-x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(0,0) & f(0,1) \\ f(1,0) & f(1,1) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1-y \\ y \end{bmatrix}$