外推

在数学中，外推（英語：extrapolation，又稱外插）是指从已知数据的孤点集合中构建新的数据的方法。与内插类似，但其所得的结果意义更小，而且更加受不确定性影响。

在市场学中，这种方法被用来预测未来产业走向。

外推算法

线性外推

线性外推在已知数据末端创建一条切线，并将其延伸。仅当用于延展近似线性的函数或延展区域离已有数据不远时，线性外推才是有效的。

如果使用离$x_{*}$点最近的两个数据点$(x_{k-1},y_{k-1})$和$(x_{k},y_{k})$插值，线性外推的公式为：

$y(x_{*})=y_{k-1}+{\frac {x_{*}-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}(y_{k}-y_{k-1}).$

此公式与线性内插是一样的。只是线性内插时，$x_{k-1}<x_{*}<x_{k}$；线性外推时，$x_{*}<x_{k-1}$或$x_{k}<x_{*}$。线性外推可能使用超过两个点，使用类似回归的技术，对选择包括的数据点进行线性插值的斜率平均化。这类似于线性预测。

多项式外推

拉格朗日外推

构建贯穿所有已知数据或只在终点附近的多项式曲线（两点为线性外推（Linear extrapolation），三点为二次外推（Quadratic extrapolation）），构建的曲线可以延展到所有已知数据外。多项式外推通常使用拉格朗日内插法（Lagrange interpolation）或牛顿有限差分法（Newton's method of finite differences）实现，产生的多项式可以用于外推数据。

高阶的多项式外推必须谨慎使用，例如对于右图的数据，任何高于一阶（线性）的外推方法都可能产生不可用的值。外推值的误差会随着多项式的阶而增长，这与Runge现象有关。