外推

在數學中，外推（英語：extrapolation，又稱外插）是指從已知數據的孤點集合中構建新的數據的方法。與內插類似，但其所得的結果意義更小，而且更加受不確定性影響。

在市場學中，這種方法被用來預測未來產業走向。

外推算法

線性外推

線性外推在已知數據末端創建一條切線，並將其延伸。僅當用於延展近似線性的函數或延展區域離已有數據不遠時，線性外推才是有效的。

如果使用離$x_{*}$點最近的兩個數據點$(x_{k-1},y_{k-1})$和$(x_{k},y_{k})$插值，線性外推的公式為：

$y(x_{*})=y_{k-1}+{\frac {x_{*}-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}(y_{k}-y_{k-1}).$

此公式與線性內插是一樣的。只是線性內插時，$x_{k-1}<x_{*}<x_{k}$；線性外推時，$x_{*}<x_{k-1}$或$x_{k}<x_{*}$。線性外推可能使用超過兩個點，使用類似回歸的技術，對選擇包括的數據點進行線性插值的斜率平均化。這類似於線性預測。

多項式外推

拉格朗日外推

構建貫穿所有已知數據或只在終點附近的多項式曲線（兩點為線性外推（Linear extrapolation），三點為二次外推（Quadratic extrapolation）），構建的曲線可以延展到所有已知數據外。多項式外推通常使用拉格朗日內插法（Lagrange interpolation）或牛頓有限差分法（Newton's method of finite differences）實現，產生的多項式可以用於外推數據。

高階的多項式外推必須謹慎使用，例如對於右圖的數據，任何高於一階（線性）的外推方法都可能產生不可用的值。外推值的誤差會隨着多項式的階而增長，這與Runge現象有關。

錐形外推

構建貫穿所有已知數據末尾附近的五個點以創造圓錐曲線；如果創建的圓錐曲線為橢圓或圓，則在外推過程中，該曲線將會迴環並重新鏈接自身。然而，若外推拋物線或雙曲線，曲線並不會重新鏈接自身，但可能會相對於x軸向後彎曲，而此類外推可用圓錐曲線模板或計算機來完成。

雲形外推

雲形外推適用於任何具有指數趨勢，但具有加速或減速因素的分布。自 1987 年，該方法已成功用於英國艾滋病毒或艾滋病以及多年來英國變異型克雅氏病的增長預測。而外推法也可以產生與更複雜的預測策略相同質量的預測結果。

幾何外推（帶有誤差預測）

幾何外推由序列的 3 個點和「時刻」或「索引」創建，這種類型的外推法在大部分已知序列數據庫 (OEIS) 中的預測準確度為 100%。

下列為使用幾何外推的例子：

${\text{sequence}}=[1,2,3,5]$

${f_{1}(x,y)={\frac {x}{y}}}$

$d_{1}=f_{1}(3,2)$

${d_{2}=f_{1}(5,3)}$

$m={\text{sequence}}(5)$

$n={\text{sequence}}(3)$

${\text{f}}(m,n,d_{1},d_{2})={\text{round}}\left((n\cdot d_{1}-m)+(m\cdot d_{2})\right)$

${\text{round}}\left((3\times 1.66)-5\right)+(5\times 1.6)=8$