庫拉托夫斯基閉包公理

庫拉托夫斯基閉包公理可來定義一個集上的拓樸結構，它和以開集作定義拓樸結構的公理等價。

定义

拓樸空間 $(X,\operatorname{cl})$ 是集合 $X$ 及作用在 $X$ 的冪集上的閉包算子

$\operatorname{cl}:\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(X)$。

閉包算子需符合以下條件：

1. $A \subseteq \operatorname{cl}(A) \!$
2. $\operatorname{cl}(\operatorname{cl}(A)) = \operatorname{cl}(A) \!$ (等冪性)
3. $\operatorname{cl}(A \cup B) = \operatorname{cl}(A) \cup \operatorname{cl}(B) \!$
4. $\operatorname{cl}(\varnothing) = \varnothing \!$

如果不要求第二个公理即幂等公理，则剩下的公理定义了预闭包算子。

等價的證明

從由閉包算子定義的拓撲空間開始。A 稱為在$(X,\operatorname{cl})$ 是閉合的，若$A=\operatorname{cl}(A)$。亦即，X 的閉集是閉包算子的不動點。

若稱「開集」為其補集為閉集的集合，則所有開集會形成一個拓撲，證明如下：

1. 由公理4.可知$\varnothing\!$為閉集；由公理1.及閉包算子的閉合性可知X 為閉集。因此，X 及$\varnothing\!$（分別為$\varnothing\!$及X 的補集）為開集。
2. 令X 的子集${A_i},i\in\Lambda\!$（其中$\Lambda$為任意集合）皆為開集，由公理1.及閉集的定義可知$\bigcup_{i\in\Lambda} A_i$為開集。
3. 令X 的子集A 及B 為開集，由公理3.可知$A \cap B$為開集。

相反地，由開集定義的拓撲也可推導至由閉包算子定義的拓撲空間。令外，也可得出下列等價的定義：

兩個拓撲空間之間的函數

$f:(X,\operatorname{cl}) \to (X',\operatorname{cl}')$

稱為連續的，若對所有X 的子集A'，

$f(\operatorname{cl}(A)) \subset \operatorname{cl}'(f(A))$

一個點稱之為在$(X,\operatorname{cl})$內是接近A 的，若$p\in \operatorname{cl}(A)$。