平分线

用直尺和圆规作出角平分线

平分线是一条能将一条线段二等分的线。

角平分线是将两条线相交所夹的角二等分的线。

角平分线的性质

角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。

即如图所示：

$OM$平分${\angle }AOB,P$为$OM$上一点$,PE{\perp }OA$于$E,PF{\perp }OB$于$F,$

则$PE=PF$。

该性质的证明

利用三角形全等，可以很容易推得此结论。

下面作一下简单推导。

${\because \quad }OM$平分${\angle }AOB,$

${\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF.$

${\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,$

${\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.$

在${\triangle }OEP$与${\triangle }OFP$中$,$

${\begin{cases}{\angle }OEP={\angle }OFP,\\{\angle }POE={\angle }POF,\\OP=OP,\end{cases}}$

${\therefore \quad \triangle }OEP{\;\cong \triangle }OFP({\mbox{AAS}}).$

${\therefore \quad }PE=PF.$

证毕。

角平分线的判定

判定

与其性质相对应的，就是角平分线的判定：

若有一点至角两边距离相等，则该点在该角的角平分线上。

即：

已知${\angle }AOB,P$为$OM$上一点$,\;PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB.$

如果$PE=PF,$那么$OM$平分${\angle }AOB.$

证明

${\because \quad }PE{\perp }OA,\;PF{\perp }OB,$

${\therefore \quad \angle }OEP={\angle }OFP=90^{\circ }.$

在$\mathrm {Rt} {\triangle }OEP$与$\mathrm {Rt} {\triangle }OFP$中$,$

${\begin{cases}OP=OP,\\PE=PF,\end{cases}}$

${\therefore \quad }\mathrm {Rt} {\triangle }OEP\;{\cong }\mathrm {Rt} {\triangle }OFP(\mathrm {HL} ).$

${\therefore \quad \angle }POE={\angle }POF,$

${\therefore \quad }OM$平分${\angle }AOB.$

证毕。

内心

任意三角形ABC中，${\angle }ABC$、${\angle }BCA$、${\angle }CAB$ 角平分线交于一点I，则我们称此点I为三角形ABC的内心。

三角形的内心恒在图形内部，且到三角形之三边距离等长。

参见

• 角平分线长公式
• 垂直平分线
• 中线
• 高线