拿破侖定理

拿破崙定理是拿破崙發現的平面幾何定理：「以任意三角形各邊為邊分別向外側作正三角形，則它們的中心(三心)連線必構成一個正三角形。」該正三角形稱為拿破崙三角形。如果向內作三角形結論同樣成立。

證明

證明段落配圖

為外側任意兩個正三角形作外接圓，其兩圓有2個交點，其中一個交點為中間三角形的頂點，設另外一個交點為$O$，並連接$O$與中間三角形的另外兩個頂點，因為$O$在兩圓上，所以$\angle AOB=\angle AOC=\angle COB=120^{\circ }$

因為中間正三角形的頂點在圓心上，且$AO$、$BO$、$CO$是外正三角形外接圓交點的連線，所以$OA$⊥$MN$、$OB$⊥$NL$、$OC$⊥$ML$

因為$\angle ACO+\angle CAO=60^{\circ }$，$\angle CAO+\angle AMN=\angle ACO+\angle CML=60^{\circ }$，所以$\angle AMN+\angle CML=60^{\circ }$，所以$\angle NML=60^{\circ }$，其餘二角同理。

基本性質

這一定理可以等價描述為：若以任意三角形的各邊為底邊向形外作底角為30°的等腰三角形，則它們的頂點構成一個正三角形。
本圖形具備下列特徵:

• 線段${\overline {AX}}={\overline {BY}}={\overline {CZ}}$，且該三線段交於一點，該點到ABC三點距離之和等於${\overline {AX}}$（或${\overline {BY}}$、${\overline {CZ}}$）。
  
• ${\overline {AX}}$與${\overline {MN}}$、${\overline {BY}}$與${\overline {NL}}$、${\overline {CZ}}$與${\overline {ML}}$互相垂直。
  
• $\triangle ACY,\triangle BCX,\triangle ABZ$之外接圓相交於一點，該點即線段${\overline {AX}},{\overline {BY}},{\overline {CZ}}$之交點。
  

參見

• 四邊形上，類似的定理為凡·奧貝爾定理。
• 拿破崙定理本身為佩特諾-伊曼-道格拉斯定理的特例。
• 內拿破侖三角形的面積大於等於 0 給出外森比克不等式。
• 西姆松定理
• 九點圓

外部連結

• 拿破崙三角形的證明 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）：利用圖解的方式，一步一步說明拿破崙三角形的原理（英文）。