波萊爾-坎泰利引理

波萊爾－坎泰利引理是概率論中的一個基本結論。大致上，波萊爾－坎泰利引理說明了，如果有無窮個概率事件，它們發生的概率之和是有限的，那麼其中的無限多個事件一同發生的概率是零。這個定理實際上是測度論的結論在概率論中的應用，得名於數學家埃米爾·波萊爾與弗朗西斯科·保羅·坎泰利。

概率空間中的定理

設$E_{n}$為某個概率空間中的一個事件序列。波萊爾－坎泰利引理說明： 如果所有的事件$E_{n}$發生的概率$\mathbb {P}$的總和是有限的，

$\sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} (E_{n})<\infty ,$

那麼它們之中有無限多個同時發生的概率等於零：

$\mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=0\,$

其中的$\limsup \,$是指一個事件序列的上極限。由於每一個事件都是若干個可能結果的集合，所以$\limsup E_{n}\,$就是指使得序列$E_{n}(\omega )$裡面有無限多個事件一起發生的結果（outcome，或稱樣本輸出）$\omega$的集合。準確來說，

$\limsup _{n\to \infty }E_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n}^{\infty }E_{k}$。

證明

設(E_n)是某個概率空間里的一系列事件。假設這些事件發生的概率之和是有限的：

$\sum _{n=1}^{\infty }\mathbb {P} (E_{n})<\infty$。

這等價於說，正項無窮級數$\left(\mathbb {P} (E_{n})\right)_{n\geq 1}$收斂。所以，根據無窮級數的性質，級數的餘項$\sum _{n=N}^{\infty }\mathbb {P} (E_{n})$的下極限是0：

$\inf _{N\geq 1}\sum _{n=N}^{\infty }\mathbb {P} (E_{n})=0.\,$

因此，

$\mathbb {P} \left(\limsup _{n\to \infty }E_{n}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcap _{N=1}^{\infty }\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)\leq \inf _{N\geq 1}\mathbb {P} \left(\bigcup _{n=N}^{\infty }E_{n}\right)\leq \inf _{N\geq 1}\sum _{n=N}^{\infty }\mathbb {P} (E_{n})=0$

推廣

對於更一般的概率空間，波萊爾－坎泰利引理可以敘述如下：

設μ是一個集合X上的測度，裝備了σ-代數F。設(A_n)為F中的一個序列。如果：

$\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})<\infty$

那麼，

$\mu \left(\limsup _{n\to \infty }A_{n}\right)=0\,$

參考來源

• Prokhorov, A.V., Borel–Cantelli lemma, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Feller William, An Introduction to Probability Theory and Its Application, John Wiley & Sons, 1961 .
• Stein Elias, Harmonic analysis: Real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princeton University Press, 1993 .
• Bruss, F. Thomas, A counterpart of the Borel Cantelli Lemma, J. Appl. Prob., 1980, 17: 1094–1101 .
• Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005.