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格爾豐德-施奈德定理

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格爾豐德-施奈德定理(英語:Gelfond–Schneider theorem)是一個可以用於證明許多數的超越性的結果。這個定理由蘇聯數學家亞歷山大·格爾豐德英語Alexander Gelfond和德國數學家西奧多·施耐德在1934年分別獨立證明,它解決了希爾伯特第七問題

表述

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如果代數數,其中,且不是有理數,那麼任何的值一定是超越數

評論

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  • 不限於實數,也可以是虛部不為零的複數。因此,可以是多值的,其中「log」表示複數對數,且該定理對每個值都是成立的。
  • 該定理的一個等價的表述是:如果 是非零的代數數,那麼 要麼是有理數,要麼是超越數。
使用反證法。
假設 不為超越數,也不為有理數,即為代數數
根據此定理, 為超越數
卻是代數數,矛盾。
要麼是有理數,要麼是超越數。
  • 如果沒有 是代數數的限制,這個定理未必成立。例如:
    • 為超越數(由本定理可得知), 為代數數,則
,是代數數。
    • 為代數數, 為超越數,則
,是代數數。

定理的應用

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利用這個定理,立刻就可以推出以下實數的超越性:

參見

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參考文獻

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