格罗莫夫积

格罗莫夫(Gromov)积是度量几何的一个概念，以米哈伊尔·格罗莫夫命名。在一个测地度量空间中，从同一点出来的两条测地线，格罗莫夫积大概量度这两条线彼此相近而行的距离。不过，格罗莫夫积的定义并不需要测地线存在。

格罗莫夫积可用以定义格罗莫夫双曲空间及其理想边界。

定义

设$(X,d)$为度量空间，$x,y,z$为$X$中三点，则$y,z$以$x$为基点的格罗莫夫积定义为

$(y,z)_{x}:={\frac {1}{2}}{\big (}d(x,y)+d(x,z)-d(y,z){\big )}$

性质

• 对称性：$(y,z)_{x}=(z,y)_{x}$
• 若基点和另一点相同，格罗莫夫积为零：$(y,z)_{y}=0$，$(y,z)_{z}=0$
• 以下关系式成立：

$d(x,y)=(x,z)_{y}+(y,z)_{x}$

$0\leq (y,z)_{x}\leq \min {\big \{}d(y,x),d(z,x){\big \}}$

• 格罗莫夫积是利普希茨连续的：

${\big |}(y,z)_{p}-(y,z)_{q}{\big |}\leq d(p,q)$

${\big |}(x,y)_{p}-(x,z)_{p}{\big |}\leq d(y,z)$

• 在欧几里德几何中，若$\triangle ABC$为平面上任意一个三角形，$(B,C)_{A}$等于$A$点到内切圆与AB及AC的两个切点的距离。

• 设$X$为树，则对$X$中任意三点$x,y,z$，$(y,z)_{x}$是从$x$到$y,z$的两条线段重合部分的长度。
• 设$X$为测地度量空间。记$[y,z]$为连接点$y,z$的一条测地线段。（注意连接此两点的测地线段未必唯一。）对$X$中任意三点$x,y,z$有不等式：

$d(x,[y,z])\geq (y,z)_{x}$

• 格罗莫夫双曲空间其中一个定义为：

设$\delta \geq 0$为常数。度量空间$(X,d)$称为δ-双曲，若$X$中任意点$p,x,y,z$都符合不等式

$(x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta$