三立方数和

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索
未解決的数学問題模9不同余4或5的整数是否都可以写成三整数立方之和? Question mark2.svg
整数xyz满足x³ + y³ + z³ = n的半对数图线,其中n ∈ [0, 100]。绿色条带代表已证明无解的整数。

三立方数和问题(英語:sums of three cubes)是指丢番图方程是否存在整数解的问题。由于立方数模9同余0、1或-1,三立方数和模9不可能同余4或5,因而这是整数解存在的一个必要条件。然而,对于该条件是否同时为充分条件目前仍未有定论。

小整数例[编辑]

时,若存在非平凡的三立方解,则费马大定理找到反例。此时三个立方数中必有两个同号,经移项,就会出现两正整数立方和等于另一正整数立方的情况。由于欧拉早已证明幂次为3的费马大定理[1],在时的三立方和只有如下平凡解:

时,存在如下解系,有无数解:

以及,

上述表示经缩放可得,任意立方数或立方数的二倍都有三立方和[2][3]。除上述表示外,也有其他三立方和解系[4]有如下著名解[4][5]

然而,已经证明只在1和2处存在能被二次多项式参数化的解析表示[6]。即便在处,也没有参数化解系。路易斯·J·莫德尔英语Louis J. Mordell在1953年写道,除了其小整数解,“我对其一无所知”,即:

“我”也不知道为什么这三个数都满足模9同余[7]。截至2019年9月 (2019-09),上述两式仍然是仅有的已知解[8]

计算结果[编辑]

1955年起,莫德尔(Mordell)等许多学者都尝试过使用计算机寻找该问题的解。[9][10][5][11][12][13][14][15][16]对于1000以内的正整数,埃尔森汉斯(Elsenhans)与雅内尔(Jahnel)于2009年使用诺姆·埃尔奇斯英语Noam Elkies提出的基于格规约的方法[13]找到了范围内的所有解。2016年,于斯曼(Huisman)使用同样的方法将搜索上界提升至。到此时为止,的正整数中,33与42以外所有模9不同余4或5的都找到了至少一组整数解。[16]

2019年,安德鲁·布克Andrew Booker)采用一种新方法发现了的一组解:[17]

此时,他在的范围里尚没有找到的解。[17]

随后在2019年9月,布克和安德鲁·萨瑟兰Andrew Sutherland)最终敲定了42的一个解,并在MIT数学系的网站上贴了出来[註 1]

这个解的获得在Charity Engine全球网络(Charity Engine's global grid)上耗费了130万机时。

至此所有100以内的数都找到了解。截至2019年9月 (2019-09),未能求解最小整数是[8],如果有解的話,至少有一數大於100000000000

唯一剩餘的未解決的案例多達1,000的是114,165,390,579,627,633,732,906,921和975。

注释[编辑]

  1. 流行文化中,42被称生命、宇宙以及任何事情的终极答案,萨瑟兰在页面的标题提到了这个典故:Life, The Universe, and Everything

参考文献[编辑]

  1. Machis, Yu. Yu., On Euler's hypothetical proof, Mathematical Notes, 2007, 82 (3): 352–356, MR 2364600, doi:10.1134/S0001434607090088 
  2. Verebrusov, A. S., Объ уравненiи x3 + y3 + z3 = 2u3 [On the equation ], Matematicheskii Sbornik, 1908, 26 (4): 622–624, JFM 39.0259.02 (俄语) 
  3. Mahler, Kurt, Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood, Journal of the London Mathematical Society, 1936, 11 (2): 136–138, MR 1574761, doi:10.1112/jlms/s1-11.2.136 
  4. 4.0 4.1 Avagyan, Armen; Dallakyan, Gurgen, A new method in the problem of three cubes, 2018, arXiv:1802.06776, doi:10.13189/ujcmj.2017.050301 (不活跃 2019-08-16) 
  5. 5.0 5.1 Heath-Brown, D. R.; Lioen, W. M.; te Riele, H. J. J., On solving the Diophantine equation on a vector computer, Mathematics of Computation, 1993, 61 (203): 235–244, MR 1202610, doi:10.2307/2152950 
  6. Mordell, L. J., On sums of three cubes, Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 1942, 17 (3): 139–144, MR 0007761, doi:10.1112/jlms/s1-17.3.139 
  7. Mordell, L. J., On the integer solutions of the equation , Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 1953, 28: 500–510, MR 0056619, doi:10.1112/jlms/s1-28.4.500 
  8. 8.0 8.1 Houston, Robin, 42 is the answer to the question 'what is (-80538738812075974)3 + 804357581458175153 + 126021232973356313?', The Aperiodical, September 6, 2019 
  9. Miller, J. C. P.; Woollett, M. F. C., Solutions of the Diophantine equation , Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 1955, 30: 101–110, MR 0067916, doi:10.1112/jlms/s1-30.1.101 
  10. Gardiner, V. L.; Lazarus, R. B.; Stein, P. R., Solutions of the diophantine equation , Mathematics of Computation, 1964, 18: 408–413, MR 0175843, doi:10.2307/2003763 
  11. Conn, W.; Vaserstein, L. N., On sums of three integral cubes, The Rademacher legacy to mathematics (University Park, PA, 1992), Contemporary Mathematics 166, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society: 285–294, 1994, MR 1284068, doi:10.1090/conm/166/01628 
  12. Bremner, Andrew, On sums of three cubes, Number theory (Halifax, NS, 1994), CMS Conference Proceedings 15, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society: 87–91, 1995, MR 1353923 
  13. 13.0 13.1 Elkies, Noam D., Rational points near curves and small nonzero via lattice reduction, Algorithmic number theory (Leiden, 2000), Lecture Notes in Computer Science 1838, Springer, Berlin: 33–63, 2000, MR 1850598, doi:10.1007/10722028_2 
  14. Beck, Michael; Pine, Eric; Tarrant, Wayne; Yarbrough Jensen, Kim, New integer representations as the sum of three cubes, Mathematics of Computation, 2007, 76 (259): 1683–1690, MR 2299795, doi:10.1090/S0025-5718-07-01947-3 
  15. Elsenhans, Andreas-Stephan; Jahnel, Jörg, New sums of three cubes, Mathematics of Computation, 2009, 78 (266): 1227–1230, MR 2476583, doi:10.1090/S0025-5718-08-02168-6 
  16. 16.0 16.1 Huisman, Sander G., Newer sums of three cubes, 2016, arXiv:1604.07746 
  17. 17.0 17.1 Booker, Andrew R., Cracking the problem with 33 (PDF), University of Bristol, 2019