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三立方數和

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整數xyz滿足x³ + y³ + z³ = n的半對數圖線,其中n ∈ [0, 100]。綠色條帶代表已證明無解的整數。

三立方數和問題(英語:sums of three cubes)是指丟番圖方程是否存在整數解的問題。由於立方數模9同餘0、1或-1,三立方數和模9不可能同餘4或5,因而這是整數解存在的一個必要條件。然而,對於該條件是否同時為充分條件目前仍未有定論。

小整數例

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時,若存在非平凡的三立方解,則費馬大定理找到反例。此時三個立方數中必有兩個同號,經移項,就會出現兩正整數立方和等於另一正整數立方的情況。由於歐拉早已證明冪次為3的費馬大定理[1],在時的三立方和只有如下平凡解:

時,存在如下解系,有無數解:

以及,

上述表示經縮放可得,任意立方數或立方數的二倍都有三立方和[2][3]。除上述表示外,也有其他三立方和解系[4]有如下著名解[4][5]

然而,已經證明只在1和2處存在能被四次多項式參數化的解析表示[6]。即便在處,也沒有參數化解系。路易斯·J·莫德爾英語Louis J. Mordell在1953年寫道,除了其小整數解,「我對其一無所知」,即:

「我」也不知道為什麼這三個數都滿足模9同餘[7]。2019年9月前,上述兩式曾經是長期以來僅有的2組已知解[8],但就在同一月,發現了第3組解[9][10]

計算結果

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1955年起,莫德爾(Mordell)等許多學者都嘗試過使用計算機尋找該問題的解。[11][12][5][13][14][15][16][17][18]對於1000以內的正整數,埃爾森漢斯(Elsenhans)與雅內爾(Jahnel)於2009年使用諾姆·埃爾奇斯提出的基於格規約的方法[15]找到了範圍內的所有解。2016年,於斯曼(Huisman)使用同樣的方法將搜索上界提升至。到此時為止,的正整數中,33與42以外所有模9不同餘4或5的都找到了至少一組整數解。[18]

2019年,安德魯·布克英語Andrew Booker (mathematician)採用一種新方法發現了的一組解:[19]

此時,他在的範圍里尚沒有找到的解。[19]

隨後在2019年9月,布克和安德魯·薩瑟蘭英語Andrew Sutherland (mathematician)最終敲定了42的一個解,並在MIT數學系的網站上貼了出來[註 1]

這個解的獲得在Charity Engine全球網絡(Charity Engine's global grid)上耗費了130萬機時。

至此1到100之間的所有整數都確認了是否有非零整數解[20]。截至2019年9月 (2019-09),未能求解最小整數是[8],如果有解的話,至少有一數大於100000000000

在2021年1月初,又解決了579[21]

至此,僅剩的未解決的在1000以內的整數是114390、627、633、732、921和975,一共有7個。

注釋

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  1. ^ 流行文化中,42被稱生命、宇宙以及任何事情的終極答案,薩瑟蘭在頁面的標題提到了這個典故:Life, The Universe, and Everything

參考文獻

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  1. ^ Machis, Yu. Yu., On Euler's hypothetical proof, Mathematical Notes, 2007, 82 (3): 352–356, MR 2364600, doi:10.1134/S0001434607090088 
  2. ^ Verebrusov, A. S., Объ уравненiи x3 + y3 + z3 = 2u3 [On the equation ], Matematicheskii Sbornik, 1908, 26 (4): 622–624, JFM 39.0259.02 (俄語) 
  3. ^ Mahler, Kurt, Note on Hypothesis K of Hardy and Littlewood, Journal of the London Mathematical Society, 1936, 11 (2): 136–138, MR 1574761, doi:10.1112/jlms/s1-11.2.136 
  4. ^ 4.0 4.1 Avagyan, Armen; Dallakyan, Gurgen, A new method in the problem of three cubes, 2018, arXiv:1802.06776可免費查閱, doi:10.13189/ujcmj.2017.050301 (不活躍 2019-08-16) 
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  6. ^ Mordell, L. J., On sums of three cubes, Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 1942, 17 (3): 139–144, MR 0007761, doi:10.1112/jlms/s1-17.3.139 
  7. ^ Mordell, L. J., On the integer solutions of the equation , Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 1953, 28: 500–510, MR 0056619, doi:10.1112/jlms/s1-28.4.500 
  8. ^ 8.0 8.1 Houston, Robin, 42 is the answer to the question 'what is (-80538738812075974)3 + 804357581458175153 + 126021232973356313?', The Aperiodical, September 6, 2019 [2022-04-03], (原始內容存檔於2022-03-15) 
  9. ^ 陳宏賓. 數學家接連破解超過六十年未知的丟番圖方程式: 33和42的三立方和問題. UniMath網站. 2019-09-25 [2020-06-14]. (原始內容存檔於2020-04-30). 
  10. ^ Lu, Donna, Mathematicians find a completely new way to write the number 3, New Scientist, 2019-09-18 [2021-01-30], (原始內容存檔於2022-03-12) 
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  19. ^ 19.0 19.1 Booker, Andrew R., Cracking the problem with 33 (PDF), University of Bristol, 2019 [2019-03-12], (原始內容存檔 (PDF)於2021-02-14) 
  20. ^ 李信昌. 三立方和整數解頁面存檔備份,存於網際網路檔案館). 昌爸數學工作坊
  21. ^ [1]頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)在twitter裡面