跳转到内容

二次互反律的证明

维基百科,自由的百科全书

这个条目给出了二次互反律的证明。

二次互反律的叙述

[编辑]

对于两个奇素数[1]其中,勒让德符号

证明一

[编辑]

是一个奇素数并且。对于每个,这样定义

,其中。通过分别考虑的情况,易证每个都两两不等。

现在考虑。因为每个都两两不等,所以就是的一个重排列。所以我们得到,因此

现在考虑的正负情况。等价于。若,则有。注意到,将等式两边同时乘2得到,其中,可以发现是偶数,而也是偶数。同理可证若,而是奇数。据此,可以知道,其中的符号,也就是还是

所以。又由欧拉准则,所以

如果是奇数,同时考虑勒让德符号的性质,可知,其中最后一步利用了等差数列的求和公式。

但是,当时,由上式可得,所以

现在令为奇素数,可得以及

所以

现在考虑右边这幅图:设,则代表了三角形A中的格点个数,代表了三角形B中的格点个数。它们加在一起等于整个长方形的格点个数的四分之一。需要注意的是由于互素,所以对角线上不可能有格点。

由于整个长方形的格点个数是,所以,即得

参考文献

[编辑]
  1. ^ 高斯二次互反律. [2019-12-08]. (原始内容存档于2019-12-08).