互信息

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独立的(H(X),H(Y)), 联合的(H(X,Y)), 以及一对带有互信息 I(X; Y) 的相互关联的子系统 X,Y 的条件熵。

概率论信息论中,两个随机变量互信息(Mutual Information,简称MI)或转移信息(transinformation)是变量间相互依赖性的量度。不同于相关系数,互信息并不局限于实值随机变量,它更加一般且决定着联合分布 p(X,Y) 和分解的边缘分布的乘积 p(X)p(Y) 的相似程度。互信息是点间互信息英语Pointwise mutual information(PMI)的期望值。互信息最常用的单位bit

互信息的定义[编辑]

一般地,两个离散随机变量 XY 的互信息可以定义为:

其中 p(x,y) 是 XY联合概率分布函数,而 分别是 XY边缘概率分布函数。

连续随机变量的情形下,求和被替换成了二重定积分

其中 p(x,y) 当前是 XY 的联合概率密度函数,而 分别是 XY 的边缘概率密度函数。

如果对数以 2 为基底,互信息的单位是bit

直观上,互信息度量 XY 共享的信息:它度量知道这两个变量其中一个,对另一个不确定度减少的程度。例如,如果 XY 相互独立,则知道 X 不对 Y 提供任何信息,反之亦然,所以它们的互信息为零。在另一个极端,如果 XY 的一个确定性函数,且 Y 也是 X 的一个确定性函数,那么传递的所有信息被 XY 共享:知道 X 决定 Y 的值,反之亦然。因此,在此情形互信息与 Y(或 X)单独包含的不确定度相同,称作 Y(或 X)的。而且,这个互信息与 X 的熵和 Y 的熵相同。(这种情形的一个非常特殊的情况是当 XY 为相同随机变量时。)

互信息是 XY联合分布相对于假定 XY 独立情况下的联合分布之间的内在依赖性。 于是互信息以下面方式度量依赖性:I(X; Y) = 0 当且仅当 XY 为独立随机变量。从一个方向很容易看出:当 XY 独立时,p(x,y) = p(x) p(y),因此:

此外,互信息是非负的(即 I(X;Y) ≥ 0; 见下文),而且是对称的英语Symmetric function(即 I(X;Y) = I(Y;X))。

与其他量的关系[编辑]

互信息又可以等价地表示成

其中 是边缘H(X|Y) 和 H(Y|X) 是条件熵,而 H(X,Y) 是 XY联合熵。注意到这组关系和并集、差集和交集的关系类似,于是用Venn图表示。

在互信息定义的基础上使用琴生不等式,我们可以证明 I(X;Y) 是非负的,因此 。这里我们给出 I(X;Y) = H(Y) - H(Y|X) 的详细推导:

上面其他性质的证明类似。

直观地说,如果把熵 H(Y) 看作一个随机变量於不确定度的量度,那么 H(Y|X) 就是"在已知 X 事件後Y事件會發生"的不確定度。於是第一个等式的右边就可以读作“將"Y事件的不确定度",减去 --- "在基於X事件後Y事件因此發生的不確定度"”。

这证实了互信息的直观意义为: "因X而有Y事件"的熵( 基於已知隨機變量的不確定性) 在"Y事件"的熵之中具有多少影響地位( "Y事件所具有的不確定性" 其中包含了多少 "Y|X事件所具有的不確性" ),意即"Y具有的不確定性"有多少程度是起因於X事件;

    舉例來說,當 I(X;Y) = 0時,也就是 H(Y) = H(Y|X)時,即代表此時 "Y的不確定性" 即為 "Y|X的不確定性",這說明了互信息的具體意義是在度量兩個事件彼此之間的關聯性

所以具體的解釋就是: 互信息越小,兩個來自不同事件空間的隨機變量彼此之間的關聯性越低; 互信息越高,關聯性則越高 。


注意到离散情形 H(X|X) = 0,于是 H(X) = I(X;X)。因此 I(X;X) ≥ I(X;Y),我们可以制定”一个变量至少包含其他任何变量可以提供的与它有关的信息“的基本原理。

互信息也可以表示为两个随机变量的边缘分布 XY 的乘积 p(x) × p(y) 相对于随机变量的联合熵 p(x,y) 的相对熵

此外,令 p(x|y) = p(x, y) / p(y)。则

注意到,这里相对熵涉及到仅对随机变量 X 积分,表达式 现在以 Y 为变量。于是互信息也可以理解为相对熵 X 的单变量分布 p(x) 相对于给定 YX条件分布 p(x|y) :分布 p(x|y) 和 p(x) 之间的平均差异越大,信息增益越大。

連續互信息的量化[编辑]

對連續型隨機變數量化的定義如下:

量化後的隨機變數:

則,

廣義而言,我們可以將互信息定義在有限多個連續隨機變數值域劃分

為連續型隨機變數的值域,, 其中劃分所構成的集合,意即

量化連續型隨機變數後,所得結果為離散型隨機變數,

對於兩連續型隨機變數X、Y,其劃分分別為P、Q,則其互信息可表示為:

参见[编辑]

注释[编辑]


参考文献[编辑]