交运算

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在数学中,在一个集合上的(meet)有两种定义:关于在这个集合上的偏序的唯一下确界(最大下界),假定下确界存在的话; 或者是满足幂等律的交换结合二元运算。在任何一个情况下,这个集合与交运算一起是半格。这两个定义产生等价的结果,除了在偏序方式中有可能直接定义更一般的元素的集合的交。最常见到交运算的领域是

通常把 的交指示为

偏序定义[编辑]

A 是带有偏序 的一个集合,并设 A 中的两个元素。A 的一个元素 的交(或最大下界或下确界),如果满足了下列两个条件:

1. (就是说, 的下界);
2. 对于 A 中的任何 ,使得 ,有着 (就是说, 大于任何其他 的下界)。

如果有 的交,则它的确是唯一的,因为如果 都是 的最大下界,则 ,因而 。如果交确实存在,它被指示为 。在 A 中的某对元素可能缺乏一个交,要么因为它们根本没有下界,要么因为它们的下界中没有一个大于所有其他的。如果所有的元素对都有交,则交实际上是在 A 上的二元运算,并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对有 A 中任何元素 ,

a. (交换律),
b. (结合律),
c. (幂等律)。

泛代数定义[编辑]

通过定义,在集合 A上的 二元运算 ,如果它满足上面的三个条件 a, bc。有序对 (A,) 就是交半格。此外,我们可以定义在 A二元关系 ,通过声称 当且仅当 。实际上,这个关系是在 A 上的偏序。对于 A 中任何元素 ,

,因为 ,通过公理 c
如果 ,通过公理 a
如果 ,因为 ,通过公理 b

两个定义的等价性[编辑]

如果 (A,) 是偏序集合,使得对于每对 A 中的元素都有交,则确实有 当且仅当 ,因为在后者情况下 确实是 的下界,并且明显的 是最大下界当且仅当它是下界。所以用泛代数方式的交定义的偏序一致于最初的偏序。

反过来,如果 (A,) 是交半格,并且偏序 按泛代数方式定义,对于A 中某些元素 ,则 关于 的最大下界,因为 ,类似的 ,并且如果 的另一个下界,则 ,从而 。所以这个用最初的交定义的偏序定义的交一致于最初的交。

换句话说,两种方式生成本质上等价的概念,集合配备了二元关系和二元运算二者,使得每个结构都由另一个确定,而且分别满足偏序或交的条件。

一般子集的交[编辑]

如果 (A,) 是交半格,则交可以被扩为任何非空有限集合的良好定义的交,通过在迭代二元运算中描述的描述的技术。可供选择的,如果交定义或定义自一个偏序,A 的某个子集确实有关于它的下确界。对于非空有限子集,这两种方式产生同样的结果,因为都可以做为交的定义。在 A 的每个子集都有交的情况下,(A,) 是完全格;详情参见完全性 (序理论)

参见[编辑]