交運算

在數學中，在一個集合上的交(meet)有兩種定義：關於在這個集合上的偏序的唯一下確界(最大下界)，假定下確界存在的話； 或者是滿足冪等律的交換結合二元運算。在任何一個情況下，這個集合與交運算一起是半格。這兩個定義產生等價的結果，除了在偏序方式中有可能直接定義更一般的元素的集合的交。最常見到交運算的領域是格。

通常把 $x$ 和 $y$ 的交指示為 $x\land y$。

偏序定義

設 A 是帶有偏序 $\leq$ 的一個集合，並設 $x$ 和 $y$ 是 A 中的兩個元素。A 的一個元素 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的交(或最大下界或下確界)，如果滿足了下列兩個條件:

1. $z\leq x$ 且 $z\leq y$ (就是說，$z$ 是 $x$ 和 $y$ 的下界)；

2. 對於 A 中的任何 $w$，使得 $w\leq x$ 且 $w\leq y$，有著 $w\leq z$ (就是說，$z$ 大於任何其他 $x$ 和 $y$ 的下界)。

如果有 $x$ 和 $y$ 的交，則它的確是唯一的，因為如果 $z$ 和 $z'$ 都是 $x$ 和 $y$ 的最大下界，則 $z\leq z'\leq z$，因而 $z=z'\,$。如果交確實存在，它被指示為 $x\land y$。在 A 中的某對元素可能缺乏一個交，要麼因為它們根本沒有下界，要麼因為它們的下界中沒有一個大於所有其他的。如果所有的元素對都有交，則交實際上是在 A 上的二元運算，並且容易看出這個運算滿足下列三個條件: 對有 A 中任何元素 $x$, $y$ 和 $z$

a. $x\land y=y\land x$ (交換律)，

b. $x\land (y\land z)=(x\land y)\land z$ (結合律)，

c. $x\land x=x$ (冪等律)。

泛代數定義

通過定義，在集合 A上的 二元運算 $\land$ 是交，如果它滿足上面的三個條件 a, b 和 c。有序對 (A,$\land$) 就是交半格。此外，我們可以定義在 A 上二元關係 $\leq$，通過聲稱 $x\leq y$ 若且唯若 $x\land y=x$。實際上，這個關係是在 A 上的偏序。對於 A 中任何元素 $x$, $y$ 和 $z$ 有

$x\leq x$，因為 $x\land x=x$，通過公理 c；

如果 $x\leq y$ 且 $y\leq x$ 則 $x=x\land y=y\land x=y$，通過公理 a；

如果 $x\leq y$ 且 $y\leq z$ 則 $x\leq z$，因為 $x\land z=(x\land y)\land z=x\land (y\land z)=x\land y=x$，通過公理 b 。

兩個定義的等價性

如果 (A,$\leq$) 是偏序集合，使得對於每對 A 中的元素都有交，則確實有 $x\land y=x$ 若且唯若 $x\leq y$，因為在後者情況下 $x$ 確實是 $x$ 和 $y$ 的下界，並且明顯的 $x$ 是最大下界若且唯若它是下界。所以用泛代數方式的交定義的偏序一致於最初的偏序。

反過來，如果 (A,$\land$) 是交半格，並且偏序 $\leq$ 按泛代數方式定義，對於A 中某些元素 $x$ 和 $y$ 有 $z=x\land y$，則 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 關於 $\leq$ 的最大下界，因為 $z\land x=x\land z=(x\land x)\land y=z\;\Rightarrow \;z\leq x$，類似的 $z\leq y$，並且如果 $w$ 是 $x$ 和 $y$ 的另一個下界，則 $w\land x=w\land y=w$，從而 $w\land z=w\land (x\land y)=(w\land x)\land y=w\land y=w$。所以這個用最初的交定義的偏序定義的交一致於最初的交。

換句話說，兩種方式生成本質上等價的概念，集合配備了二元關係和二元運算二者，使得每個結構都由另一個確定，而且分別滿足偏序或交的條件。

一般子集的交

如果 (A,$\land$) 是交半格，則交可以被擴為任何非空有限集合的良好定義的交，通過在迭代二元運算中描述的描述的技術。可供選擇的，如果交定義或定義自一個偏序，A 的某個子集確實有關於它的下確界。對於非空有限子集，這兩種方式產生同樣的結果，因為都可以做為交的定義。在 A 的每個子集都有交的情況下，(A,$\leq$) 是完全格；詳情參見完全性 (序理論)。

參見

• 下確界
• 格 (數學)
• 偏序集合
• 並運算