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并运算

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在数学中,集合上的(英語:join)可以用两种方式定义:关于这个集合上的偏序的唯一上确界(最小上界),假定这种上确界存在的话;或者是满足幂等律交换结合二元运算。在任何一个情况下,这个集合与并运算一起是并半格。两个定义生成等价的结果,除了偏序方式有可能直接的定义更一般的元素的集合的并之外。最常见到并运算的领域是

的并通常被指示为

偏序定义[编辑]

A 是带有偏序 的一个集合,并设 A 中的两个元素。A 中的一个元素 的并(或最小上界或上确界),如果满足下列两个条件:

1. (就是说, 的一个上界)
2. 对于 A 中任何 ,使得 ,有着 (就是说, 小于任何其他 的上界)。

如果 有并,则实际上它是唯一的,因为如果 都是 的最小上界,则 ,因此确实 。如果并存在,它被指示为 A 中的某些对元素可能缺乏并,要么因为它们根本就没有上界,要么因为它们的上界没有一个小于所有其他的。如果所有的元素对都有并,则这个并实际上是在 A 上的二元运算,并且容易看出这个运算满足下列三个条件: 对于 A 中任何元素 ,

a. (交换律),
b. (结合律),
c. (幂等律)。

泛代数定义[编辑]

通过定义,在集合 A 上的二元运算 是并,如果它满足上述三个条件 a, bc。有序对 (A,) 就是并半格。此外,我们可以定义在 A 上的二元关系 ,通过声称 当且仅当 。事实上,这个关系是在 A 上的偏序。实际上,对于 A 中任何元素 ,

,因为 ,通过公理 c
如果 ,则 ,通过公理 a
如果 ,则 ,因为 ,通过公理 b

两个定义的等价性[编辑]

如果 (A,) 是偏序集合,使得 A 中每对元素都有并,则确实 当且仅当 ,因为在后者情况下 的确是 的上界,并且因为明显的 是最小上界当且仅当它是上界。因此,以泛代数方式的并定义的偏序一致于最初的偏序。

反过来说,如果 (A,) 是并半格,并用泛代数的方式定义偏序 ,对于 A 中某些元素 ,则 关于 的最小上界,因为 ,类似的 ,并且如果 的另一个上界,则 ,因而 。所以最初的并定义的偏序定义的并一致于最初的并。

换句话说,这两种方式生成本质上等价的概念,集合配备了二元关系和二元运算二者,使得每个结构都有另一个确定,而且分别满足关于偏序或并的那些条件。

一般子集的并[编辑]

如果 (A,) 是并半格,则并可以被扩展为任何非空有限集合的良好定义的并,通过在迭代二元运算中描述的技术。可作为替代的,并定义或定义自偏序,A 的某个子集的确有关于它的上确界。对于非空有限子集,这两种方式生成同样的结果,因此任何一个都可以作为并的定义。在 A 的每个子集都有并的情况下,实际上 (A,) 是完全格;详情请参见完全性 (序理论)

参见[编辑]