切比雪夫方程

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切比雪夫方程英语:Chebyshev equation)是指二阶线性常微分方程

其中p为一实常数。该方程是以俄罗斯数学家巴夫尼提·切比雪夫的名字命名的。

方程的解为幂级数

其中系数可通过以下递推关系式计算:

级数在上收敛(对递推关系式应用比值审敛法可得)。

递推关系的初值a0与a1可为任意值,由此可得微分方程不同的特解。通常初值可取为:

a0 = 1 ; a1 = 0,可得解

以及

a0 = 0 ; a1 = 1,可得解

通解可表示为以上两特解的任意线性组合。

当p为整数时,两个函数中有一个为有限项:p为偶数时F为有限项,反之G为有限项。此时,那个为有限项的函数是一个p次多项式,并与p次切比雪夫多项式成比例:

(p为偶数)
(p为奇数)

参考文献[编辑]