对偶范数

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

对偶范数数学泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间对偶空间时,常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。

定义[编辑]

对偶空间[编辑]

给定一个系数\mathbb{F}赋范向量空间(比如说一个巴拿赫空间E(其中\mathbb{F}通常是实数\mathbb{R}或复数域\mathbb{C}),所有从E\mathbb{F}上的连续线性映射(也称为连续线性泛函)的集合称为E的(连续)对偶空间,记作:E' .

对偶范数[编辑]

可以证明,E′是一个向量空间。其上可以装备不同的范数。对偶范数(\| \cdot \|')是一种自然的范数定义方式,定义为:

\forall f \in E', \; \; \| f \|' = \sup \left\{ |f(x)| ; \; \|x\| \leqslant 1 \right\} = \sup \left\{ \frac{|f(x)|}{\|x\|} ; x \neq 0\right\}

由于E′中的元素的是连续线性泛函,所以按照以上定义的范数必然存在,是一个有限正实数。引进了对偶范数後,E′成为一个赋范线性空间。可以证明,E′在对偶范数下必然是完备的,所以E′是巴拿赫空间。

证明

给定一个由E′中元素构成的柯西序列(f_n)_{n\in\mathbb{N}},其中每一个f_n都是E-线性泛函。由柯西序列的定义可知,

\forall \epsilon > 0 ,\; \; \exists N \in \mathbb{N}, 使得\forall n, m > N, \; \; \|f_n - f_m \|' < \epsilon.

所以对E中任何元素x,都有:

\forall n, m > N, \; \; |f_n(x) - f_m(x)| = |(f_n - f_m)(x)| \leqslant \|f_n - f_m \|' \| x \| < \epsilon \| x \|.

这说明\left( f_n(x) \right)_{n\in\mathbb{N}}是柯西数列,因而收敛:数列的极限存在。定义函数f : \; \; E \rightarrow \mathbb{F}如下:

f(x) = \lim_{n\to\infty} f_n(x).

这样定义的函数f 是连续线性泛函,属于E′。事实上:

  1. f 是线性映射:
    \forall \alpha , \beta \in \mathbb{F}, \; \; x , y \in E ,
     f(\alpha x + \beta y) = \lim_{n\to\infty} f_n (\alpha x + \beta y) = \lim_{n\to\infty} \left[ \alpha f_n (x ) + \beta f_n(y) \right] = \alpha \lim_{n\to\infty} f_n (x ) + \beta \lim_{n\to\infty} f_n(y) =  \alpha  f(x ) + \beta f(y).
  2. f 是连续映射:
    \epsilon定为1,则存在N_1 \in \mathbb{N},使得\forall n > N_1,都有\|f_n - f_{N_1}\|' < 1,这说明:
    \forall n > N_1, \; \; \|f_n \|' \leqslant \|f_{N_1}\|' + 1. 因此,\forall n > N_1, \; \; x \in E, \; \; \|x\| < 1, 都有|f_n(x)| \leqslant \|f_n\|' \|x\| \leqslant \|f_n \|' \leqslant \|f_{N_1}\|' + 1.
    n趋向无穷大时,就有:|f(x)| \leqslant \|f_{N_1}\|' + 1 。这说明f 是连续映射。

最后证明f 是序列(f_n)_{n\in\mathbb{N}}在对偶范数下的极限:

给定\epsilon > 0 ,总能找到N\in\mathbb{N},使得:
\forall n, m > N, \; \;  \| f_n - f_m \|' < \epsilon, 所以,\forall x\in E, \; \; \|x\| \leqslant 1,
|f_n(x) - f_m(x) | \leqslant \| f_n - f_m \|' \|x\| \leqslant  \| f_n - f_m \|' < \epsilon.
m趋向无穷大时,就有:|f_n(x) - f(x) | \leqslant \epsilon.
因此,\forall n > N, \; \; \| f_n - f \|' = \sup \{|f_n(x) - f(x) | ; \; \|x\| \leqslant 1 \} \leqslant \epsilon.

这说明序列(f_n)_{n\in\mathbb{N}}在对偶范数下收敛到f。所以E′是完备空间。

例子[编辑]

给定两个大于1的实数pq。如果两者满足:\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1,那么序列空间\ell^p\ell^q互相是对偶空间(在同构的意义上)。\ell^p装备的是序列p-范数之时,它的对偶空间装备的对偶范数可以和装备了序列q-范数的\ell^q建立等距同构。当p = q = 2时,以上性质说明,\ell^2和自身对偶。

参见[编辑]

参考来源[编辑]