对偶范数

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对偶范数数学泛函分析里的概念。考虑一个赋范向量空间对偶空间时,常常需要给对偶空间赋以合适的几何架构。对偶范数是一种自然的赋范方式。

定义[编辑]

对偶空间[编辑]

给定一个系数赋范向量空间(比如说一个巴拿赫空间E(其中通常是实数或复数域),所有从E上的连续线性映射(也称为连续线性泛函)的集合称为E的(连续)对偶空间,记作:E' .

对偶范数[编辑]

可以证明,E′是一个向量空间。其上可以装备不同的范数。对偶范数()是一种自然的范数定义方式,定义为:

由于E′中的元素的是连续线性泛函,所以按照以上定义的范数必然存在,是一个有限正实数。引进了对偶范数後,E′成为一个赋范线性空间。可以证明,E′在对偶范数下必然是完备的,所以E′是巴拿赫空间。

证明

给定一个由E′中元素构成的柯西序列,其中每一个都是E-线性泛函。由柯西序列的定义可知,

使得

所以对E中任何元素x,都有:

这说明是柯西数列,因而收敛:数列的极限存在。定义函数如下:

这样定义的函数f 是连续线性泛函,属于E′。事实上:

  1. f 是线性映射:
  2. f 是连续映射:
    定为1,则存在,使得,都有,这说明:
    因此, 都有
    趋向无穷大时,就有:。这说明f 是连续映射。

最后证明f 是序列在对偶范数下的极限:

给定,总能找到,使得:
所以,
趋向无穷大时,就有:
因此,

这说明序列在对偶范数下收敛到f。所以E′是完备空间。

例子[编辑]

给定两个大于1的实数pq。如果两者满足:,那么序列空间互相是对偶空间(在同构的意义上)。装备的是序列p-范数之时,它的对偶空间装备的对偶范数可以和装备了序列q-范数的建立等距同构。当时,以上性质说明,和自身对偶。

参见[编辑]

参考来源[编辑]