循環單位

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趣味數學中,循環單位是由1組成的數如1, 11, 111, 1111等。

1966年,A.H. Beiler稱這類數為repunit,表示repeated unit

對於n≥1,循環單位可以這樣定義:

R_n^{(b)}={b^n-1\over b-1}\qquad\,\!

亦可以用遞歸的方法:

R_0=0\,\!
R_n=bR_{n-1}+1\,\!

其中b\,\!进位制的底。在這篇文章,循環單位都是指十进制中的。

循環單位的平方[编辑]

R_1\,\!R_b\,\!的循環單位,R_n\,\!平方有一個很有趣的性質,它們都會得出由1到n\,\!的數字順序組成的回文数。例如十进制中的:

        1×1        =        1
       11×11       =       121
      111×111      =      12321
     1111×1111     =     1234321
    11111×11111    =    123454321
   111111×111111   =   12345654321
  1111111×1111111  =  1234567654321
 11111111×11111111 = 123456787654321
111111111×111111111=12345678987654321

而上述原則於十進制,只在n<10\,\!的情況下才能生效,因為在n>9\,\!的情況下,R_n\,\!的平方已經不能組成迴文數。例如:

      11111111111×1111111111      =      1234567900987654321
     111111111111×11111111111     =     123456790120987654321
    1111111111111×111111111111    =    12345679012320987654321
   11111111111111×1111111111111   =   1234567901234320987654321
  111111111111111×11111111111111  =  123456790123454320987654321
 1111111111111111×111111111111111 = 12345679012345654320987654321
11111111111111111×1111111111111111=1234567901234567654320987654321
...

雖然在9<n<19\,\!的情況下,R_n\,\!的平方不能組成迴文數,卻有著固定的結構:

  1. 如果n=10\,\!,前綴:123456790,後綴:0987654321
  2. 如果n>10\,\!,前綴:123456790,中段:從1開始順序數數,直至得出n\,\!與9的差,再倒數至2,後綴:0987654321

循環單位兼質數[编辑]

n能被大於1的k整除時,R_k|R_n(例如111111111 = 111 \times 1001001),因此若R_n是質數,n必須是質數。

現在已知n = 2, 19, 23, 317, 1031時,R_n是質數,而n = 49081, 86453R_n則可能是偽素數

號碼 n 年份 發現者
1 2
2 19
3 23
4 317 1978年 Williams, Dubner
5 1031 1986年 Dubner
6 49081 ? 1999年 Dubner
7 86453 ? 2000年 Baxter

參見[编辑]