欧拉-麦克劳林求和公式

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科林·麦克劳林是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一
莱昂哈德·欧拉是欧拉-麦克劳林求和公式的提出者之一

欧拉-麦克劳林求和公式在1735年由莱昂哈德·欧拉科林·麦克劳林分别独立发现,该公式提供了一个联系积分与求和的方法,由此可以导出一些渐进展开式。

公式[编辑]

[1]为一至少阶可微的函数,,则

其中

  • 表示的阶乘
  • 表示阶导函数
  • ,其中
    • 表示第伯努利多项式
      • 伯努利多项式是满足以下条件的多项式序列:
    • 表示的小数部分
  • 为第伯努利数

证明[编辑]

证明使用数学归纳法以及黎曼-斯蒂尔杰斯积分,下文中假设的可微次数足够大,
为了方便,将原式的各项用不同颜色表示:

的情形[编辑]

容易算出


其中橙色的项通过分部积分可化为

假设时原式成立[编辑]

处理积分(蓝色项)[编辑]

将处理后的积分代入[编辑]


得到想要的结果。

余项(积分项)估计[编辑]

欧拉-麦克劳林求和公式的精确度通常不一定随着的增加而增加,相反地,如果相当大,则积分项也会很大。右图是在计算调和级数的前100项时用Mathematica算出不同的对应的积分项的绝对值

计算调和级数时的误差项


应用[编辑]

通过欧拉-麦克劳林求和公式可以给出黎曼ζ函数的渐进式:[2]

其中

其他形式[编辑]

欧拉-麦克劳林求和公式有时也被写成如下形式:[3]

这是欧拉给出的原始形式。

参考文献[编辑]

  1. ^ Gérald Tenenbaum. 解析与概率数论导引. 高等教育出版社. 2011年1月: 5. ISBN 978-7-04-029467-5 (中文). 
  2. ^ H.M.Edwards. Riemann's Zeta Function. Dover Publications. 2001: 114. ISBN 978-0-486-41740-0 (英语). 
  3. ^ Tom M.Apostol. Introduction to Analytic Number Theory. 世界图书出版社. 2012: 54. ISBN 978-7-5100-4062-7 (英语).