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欧拉方程 (流体动力学)

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流體動力學中,歐拉方程是一組支配無黏性流體運動的方程,以萊昂哈德·歐拉命名。方程組各方程分別代表質量守恆(連續性)、動量守恆及能量守恆,對應零黏性及無熱傳導項的纳维-斯托克斯方程。歷史上,只有連續性及動量方程是由歐拉所推導的。然而,流體動力學的文獻常把全組方程——包括能量方程——稱為“歐拉方程”[1]

跟納維-斯托克斯方程一樣,歐拉方程一般有兩種寫法:“守恆形式”及“非守恆形式”。守恆形式強調物理解釋,即方程是通過一空間中某固定體積的守恆定律;而非守恆形式則強調該體積跟流體運動時的變化狀態。

歐拉方程可被用於可壓縮性流體,同時也可被用於非壓縮性流體——這時應使用適當的狀態方程,或假設流速散度為零。

本條目假設經典力學適用;當可壓縮流的速度接近光速時,詳見相對論性歐拉方程

歷史

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第一份印有歐拉方程的出版物是歐拉的論文《流體運動的一般原理》(Principes généraux du mouvement des fluides),發表於1757年,刊載於《柏林科學院論文集》(Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin)。它們是最早被寫下來的一批偏微分方程。在歐拉發表他的研究之時,方程組只有動量方程及連續性方程,因此只能完整描述非壓縮性流體;在描述可壓縮性流體時,會因條件不足而不能提供唯一解。在1816年,皮埃爾-西蒙·拉普拉斯添加了一條方程,第三條方程後來被稱為絕熱條件

在十九世紀的後半期,科學家們發現,與能量守恆相關的方程在任何時間都得被遵守,而絕熱條件則只會在有平滑解的情況下會被遵守,因為該條件是由平滑解時的基礎定律所造成的後果。在發現了狹義相對論之後,能量密度、質量密度及應力這三個概念,被統一成應力-能量張量這一個概念;而能量及動量也同樣被統一成一個概念——能量-動量張量[2]

守恆形式(分量)

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以下是用微分形式寫成的歐拉方程:

其中

  • ρ為流體的質量密度
  • u 為流體速度向量,分量為uvw
  • E = ρ e + ½ ρ ( u2 + v2 + w2 )為每一單位容量所含的總能量,其中e為流體每一單位容量所含的內能
  • p為壓力;
  • 代表張量積

第二條方程包含了一并矢積散度,用下標標記(每一個j代表從1至3)表示會較易明白:

其中i及j下標各代表直角座標系的三個分量:( x1 , x2 , x3 ) = ( x , y , z )( u1 , u2 , u3 ) = ( u , v , w )

注意以上方程是用守恆形式的,而守恆形式強調的是方程的物理起因(因此在計算流體力學中的電腦模擬上使用這種形式最方便)。而代表動量守恆的第二條方程可用非守恆形式表示:

但是在這個形式上,會比較看不出歐拉方程與牛頓第二運動定律的直接關聯。

守恆形式(向量)

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以下是用向量及守恆形式寫成的歐拉方程:

其中

在這個形式下,不難看出fxfyfz是通量。

以上方程分別代表質量守恆、動量的三個分量及能量。裏面有五條方程,六個未知數。封閉系統需要一條狀態方程;最常用的是理想氣體定律(即p = ρ (γ−1) e,其中ρ為密度,γ絕熱指數e為內能)。

注意能量方程的奇特形式;見藍金-雨果尼厄方程。附加含p的項可被詮釋成相鄰的流體元對某流體元所作的機械功。在非壓縮性流體中,這些附加項的總和為零。

流線上歐拉方程的積分,假設密度不變,及狀態方程具有足夠的剛性,可得有名的伯努利定律

非守恆形式(通量雅可比矩陣)

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在構建數值解,例如求雷曼問題近似解的時候,展開通量可以是很重要的一環。使用上面以向量表示的守恆形式方程,展開其通量可得非守恆形式如下:

其中AxAyAz為通量雅可比矩陣,各矩陣為:

上式中這些通量雅可比矩陣AxAyAz,還是狀態向量m的函數,因此這種形式的歐拉方程跟原方程一樣,都是非線性方程。在狀態向量m平滑變動的區間內,這種非守恆形式跟原來守恆形式的歐拉方程是相同的。

理想氣體的通量雅可比矩陣

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理想氣體定律用作狀態方程,可推導出完整的雅可比矩陣形式,矩陣如下[3]

H為:

聲速a為:

線性化形式

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將含通量雅可比矩陣的非守恆形式,在狀態m = m0的周圍線性化後,可得線性化歐拉方程如下:

其中Ax,0Ay,0Az,0分別為AxAyAz於某參考狀態m = m0的值。

線性化一維的非耦合波方程

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如果棄用守恆變量而改用特徵變量的話,歐拉方程可被變換成非耦合方程。舉例說,考慮以線性通量雅可比矩陣形式表示的一維(1-D)歐拉方程:

矩陣Ax,0可被對角化,即可將其分解成:

上式中,r1r2r3為矩陣Ax,0的右特徵向量(若,則x_R為右特徵向量),而λ1λ2λ3則為對應的特徵值

設特徵變量為:

由於Ax,0不變,原來的一維通量雅可比矩陣方程,乘上P−1後可得:

經過這樣的處理後,方程實際上已經被非耦合化,而且可被視作三條波方程,其中特徵值為波速。變量wi為雷曼不變量,或在一般的雙曲系統中為特徵變量。

衝擊波

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歐拉方程為非線性雙曲方程,而它們的通解為。与海浪一樣,由歐拉方程所描述的波掉後,所謂的衝擊波就會形成;這是一種非線性效應,所以其解為多值函數(即函數內的某自變量會產生多個因變量)。物理上這代表構建微分方程時所用的假設已經崩潰,如果要從方程上取得更多資訊,就必須回到更基礎的積分形式。然後,在構建弱解時,需要使用藍金-雨果尼厄衝擊波條件,在流動的物理量中避開不連續點“跳躍”,上述物理量有密度、速度、壓力及熵。物理量很少會出現不連續性;在現實的流動中,黏性會把這些不連續點平滑化。

許多領域都有研究衝擊波的傳播,尤其是出現流動處於足夠高速的領域,例如空氣動力學火箭推進

一維中的方程

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在某些問題中,特別是分析導管中的可壓縮流,或是當流動呈圓柱或球狀對稱的時候,一維歐拉方程都是很有用的近似法。一般來說,解歐拉方程會用到黎曼特徵線法。首先需要找出特徵線,這條曲線位於兩個獨立變量(即xt)所構成的平面上,在這條線上偏微分方程(PDE)會退化成常微分方程(ODE)。歐拉方程的數值解法非常倚賴特徵線法。

注釋

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  1. ^ Anderson, John David. Computational fluid dynamics: the basics with applications. New York, NY: McGraw-Hill. 2010 [2022-07-21]. ISBN 978-0-07-001685-9. OCLC 711810200. (原始内容存档于2022-07-21) (英语). 
  2. ^ Christodoulou, Demetrios. The Euler Equations of Compressible Fluid Flow. Bulletin of the American Mathematical Society. 2007-06-18, 44 (4). ISSN 0273-0979. doi:10.1090/S0273-0979-07-01181-0 (英语). 
  3. ^ 見Toro (1999)

資料來源及延伸閱讀

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  • Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962. 
  • Thompson, Philip A. Compressible Fluid Flow. New York: McGraw-Hill. 1972. ISBN 0070644055. 
  • Toro, E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-65966-8.