在流体动力学中,欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程,以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒(连续性)、动量守恒及能量守恒,对应零黏性及无热传导项的纳维-斯托克斯方程。历史上,只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而,流体动力学的文献常把全组方程——包括能量方程——称为“欧拉方程”[1]。
跟纳维-斯托克斯方程一样,欧拉方程一般有两种写法:“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释,即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律;而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。
欧拉方程可被用于可压缩性流体,同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程,或假设流速的散度为零。
本条目假设经典力学适用;当可压缩流的速度接近光速时,详见相对论性欧拉方程。
第一份印有欧拉方程的出版物是欧拉的论文《流体运动的一般原理》(Principes généraux du mouvement des fluides),发表于1757年,刊载于《柏林科学院论文集》(Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin)。它们是最早被写下来的一批偏微分方程。在欧拉发表他的研究之时,方程组只有动量方程及连续性方程,因此只能完整描述非压缩性流体;在描述可压缩性流体时,会因条件不足而不能提供唯一解。在1816年,皮埃尔-西蒙·拉普拉斯添加了一条方程,第三条方程后来被称为绝热条件。
在十九世纪的后半期,科学家们发现,与能量守恒相关的方程在任何时间都得被遵守,而绝热条件则只会在有平滑解的情况下会被遵守,因为该条件是由平滑解时的基础定律所造成的后果。在发现了狭义相对论之后,能量密度、质量密度及应力这三个概念,被统一成应力-能量张量这一个概念;而能量及动量也同样被统一成一个概念——能量-动量张量[2]。
以下是用微分形式写成的欧拉方程:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0\\[1.2ex]&{\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} \otimes (\rho \mathbf {\mathbf {u} } ))+\nabla p=0\\[1.2ex]&{\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719655fccdf7f1f48ae8f9f333070347b9f535ff)
其中
- ρ为流体的质量密度;
- u 为流体速度矢量,分量为u、v及w;
- E = ρ e + ½ ρ ( u2 + v2 + w2 )为每一单位容量所含的总能量,其中e为流体每一单位容量所含的内能;
- p为压力;
代表张量积。
第二条方程包含了一并矢积的散度,用下标标记(每一个j代表从1至3)表示会较易明白:
![{\displaystyle {\partial (\rho u_{j}) \over \partial t}+\sum _{i=1}^{3}{\partial (\rho u_{i}u_{j}) \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9679359023f5233731d249000cd9241708ab04d0)
其中i及j下标各代表直角坐标系的三个分量:( x1 , x2 , x3 ) = ( x , y , z )及( u1 , u2 , u3 ) = ( u , v , w )。
注意以上方程是用守恒形式的,而守恒形式强调的是方程的物理起因(因此在计算流体力学中的电脑模拟上使用这种形式最方便)。而代表动量守恒的第二条方程可用非守恒形式表示:
![{\displaystyle \rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {u} }+\nabla p=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cdda8f3afdfbac4020cb81e0836f3a3cc9fbff5)
但是在这个形式上,会比较看不出欧拉方程与牛顿第二定律的直接关联。
以下是用矢量及守恒形式写成的欧拉方程:
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{z}}{\partial z}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e492fa6852926f484dbe3a39dc0e3e28e1ce071b)
其中
![{\displaystyle {\mathbf {m} }={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\E\end{pmatrix}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf3800d7199ad90463f89e87baa8278f7e64acd)
![{\displaystyle {\mathbf {f} _{x}}={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\\rho uv\\\rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{y}}={\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\p+\rho v^{2}\\\rho vw\\v(E+p)\end{pmatrix}};\qquad {\mathbf {f} _{z}}={\begin{pmatrix}\rho w\\\rho uw\\\rho vw\\p+\rho w^{2}\\w(E+p)\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6680071d660a84558a8902157bf59b45a5f6cf8b)
在这个形式下,不难看出fx、fy及fz是通量。
以上方程分别代表质量守恒、动量的三个分量及能量。里面有五条方程,六个未知数。封闭系统需要一条状态方程;最常用的是理想气体定律(即p = ρ (γ−1) e,其中ρ为密度,γ为绝热指数,e为内能)。
注意能量方程的奇特形式;见蓝金-雨果尼厄方程。附加含p的项可被诠释成相邻的流体元对某流体元所作的机械功。在非压缩性流体中,这些附加项的总和为零。
取流线上欧拉方程的积分,假设密度不变,及状态方程具有足够的刚性,可得有名的伯努利定律。
在构建数值解,例如求雷曼问题的近似解的时候,展开通量可以是很重要的一环。使用上面以矢量表示的守恒形式方程,展开其通量可得非守恒形式如下:
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd5e5779a57f3b5e4175cb7a7a5778c083d6568)
其中Ax、Ay及Az为通量雅可比矩阵,各矩阵为:
![{\displaystyle \mathbf {A} _{x}={\frac {\partial \mathbf {f} _{x}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{y}={\frac {\partial \mathbf {f} _{y}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }},\qquad \mathbf {A} _{z}={\frac {\partial \mathbf {f} _{z}(\mathbf {s} )}{\partial \mathbf {s} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/028bf3e9841d8ae43c04c818e35ca5dffa4b3d59)
上式中这些通量雅可比矩阵Ax、Ay及Az,还是状态矢量m的函数,因此这种形式的欧拉方程跟原方程一样,都是非线性方程。在状态矢量m平滑变动的区间内,这种非守恒形式跟原来守恒形式的欧拉方程是相同的。
将理想气体定律用作状态方程,可推导出完整的雅可比矩阵形式,矩阵如下[3]:
理想气体的通量雅可比矩阵
|
x方向的通量雅可比矩阵:
![{\displaystyle \mathbf {A} _{x}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&1&0&0&0\\{\hat {\gamma }}H-u^{2}-a^{2}&(3-\gamma )u&-{\hat {\gamma }}v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-uv&v&u&0&0\\-uw&w&0&u&0\\u[(\gamma -2)H-a^{2}]&H-{\hat {\gamma }}u^{2}&-{\hat {\gamma }}uv&-{\hat {\gamma }}uw&\gamma u\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea1cadcc914126f3e4b6a0d43b2b692306a49e0c)
y方向的通量雅可比矩阵:
![{\displaystyle \mathbf {A} _{y}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&1&0&0\\-vu&v&u&0&0\\{\hat {\gamma }}H-v^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&(3-\gamma )v&-{\hat {\gamma }}w&{\hat {\gamma }}\\-vw&0&w&v&0\\v[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uv&H-{\hat {\gamma }}v^{2}&-{\hat {\gamma }}vw&\gamma v\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59565c52e2e43c8718b80ea189386e06caf659dc)
z方向的通量雅可比矩阵:
![{\displaystyle \mathbf {A} _{z}=\left[{\begin{array}{c c c c c}0&0&0&1&0\\-uw&w&0&u&0\\-vw&0&w&v&0\\{\hat {\gamma }}H-w^{2}-a^{2}&-{\hat {\gamma }}u&-{\hat {\gamma }}v&(3-\gamma )w&{\hat {\gamma }}\\w[(\gamma -2)H-a^{2}]&-{\hat {\gamma }}uw&-{\hat {\gamma }}vw&H-{\hat {\gamma }}w^{2}&\gamma w\end{array}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7bada4ec757d1aec3bef39fbceba93e17ffbcb8)
其中 .
|
总焓H为:
![{\displaystyle H={\frac {E}{\rho }}+{\frac {p}{\rho }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da4f07c9e27aff00504511f9b7ff2f7f55d4d135)
及声速a为:
![{\displaystyle a={\sqrt {\frac {\gamma p}{\rho }}}={\sqrt {(\gamma -1)\left[H-{\frac {1}{2}}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d981fcd3ad170a2cb66edcb1c77acbc06db381d)
将含通量雅可比矩阵的非守恒形式,在状态m = m0的周围线性化后,可得线性化欧拉方程如下:
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}+\mathbf {A} _{y,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial y}}+\mathbf {A} _{z,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial z}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99ed3a2e8bf51505042ea10e568f088a76dd00a2)
其中Ax,0 、Ay,0及Az,0分别为Ax、Ay及Az于某参考状态m = m0的值。
如果弃用守恒变量而改用特征变量的话,欧拉方程可被变换成非耦合波方程。举例说,考虑以线性通量雅可比矩阵形式表示的一维(1-D)欧拉方程:
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial t}}+\mathbf {A} _{x,0}{\frac {\partial \mathbf {m} }{\partial x}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cbf7b8ee9f244003b6acb7d6de5f0dbd58fbaad)
矩阵Ax,0可被对角化,即可将其分解成:
![{\displaystyle \mathbf {A} _{x,0}=\mathbf {P} \mathbf {\Lambda } \mathbf {P} ^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0673271ab047e6424a93de6d81cc5d4f328d25a)
![{\displaystyle \mathbf {P} =\left[\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&1&1\\u-a&u&u+a\\H-ua&{\frac {1}{2}}u^{2}&H+ua\\\end{array}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef545bc918d0bfe1ee33125484f1ac4c372a6e9)
![{\displaystyle \mathbf {\Lambda } ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u-a&0&0\\0&u&0\\0&0&u+a\\\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8c2c9e694c2a27be66737c10881e060bbc044fe)
上式中,r1、r2及r3为矩阵Ax,0的右特征矢量(若
,则x_R为右特征矢量),而λ1、λ2及λ3则为对应的特征值。
设特征变量为:
![{\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {m} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f760ff26b0b50a9d9383bafd5a0ebf853cb1d942)
由于Ax,0不变,原来的一维通量雅可比矩阵方程,乘上P−1后可得:
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+\mathbf {\Lambda } {\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial x}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e78ea50161711e90a23a33c6c84902938718d8)
经过这样的处理后,方程实际上已经被非耦合化,而且可被视作三条波方程,其中特征值为波速。变量wi为雷曼不变量,或在一般的双曲系统中为特征变量。
欧拉方程为非线性双曲方程,而它们的通解为波。与海浪一样,由欧拉方程所描述的波碎掉后,所谓的冲击波就会形成;这是一种非线性效应,所以其解为多值函数(即函数内的某自变量会产生多个因变量)。物理上这代表构建微分方程时所用的假设已经崩溃,如果要从方程上取得更多信息,就必须回到更基础的积分形式。然后,在构建弱解时,需要使用蓝金-雨果尼厄冲击波条件,在流动的物理量中避开不连续点“跳跃”,上述物理量有密度、速度、压力及熵。物理量很少会出现不连续性;在现实的流动中,黏性会把这些不连续点平滑化。
许多领域都有研究冲击波的传播,尤其是出现流动处于足够高速的领域,例如空气动力学及火箭推进。
在某些问题中,特别是分析导管中的可压缩流,或是当流动呈圆柱或球状对称的时候,一维欧拉方程都是很有用的近似法。一般来说,解欧拉方程会用到黎曼的特征线法。首先需要找出特征线,这条曲线位于两个独立变量(即x及t)所构成的平面上,在这条线上偏微分方程(PDE)会退化成常微分方程(ODE)。欧拉方程的数值解法非常倚赖特征线法。
- Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962.
- Thompson, Philip A. Compressible Fluid Flow. New York: McGraw-Hill. 1972. ISBN 0070644055.
- Toro, E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-65966-8.