武卡谢维奇逻辑

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数学中,Łukasiewicz 逻辑非经典多值逻辑。它最初由扬·武卡谢维奇定义为叫做“三价逻辑”的三值逻辑[1];它后来被推广为 n 值(对于所有有限 n)和无限多值变体,命题和一阶都有[2]。它属于t-规范模糊逻辑[3]亚结构逻辑[4]类。

实数值语义[编辑]

无穷多值 Łukasiewicz 逻辑是实数值逻辑,其中来自命题演算的句子被指派上在 0 到 1 之间的任意精度的真值。求值有如下递归定义:

  • w(\theta \rightarrow \phi) = F_\rightarrow (\theta, \phi)
  • w(\neg \theta) = F_\neg (\theta)
  • w(\theta \wedge \phi) = F_\wedge (\theta, \phi)
  • w(\theta \vee \phi) = F_\vee (\theta, \phi)

F_\wedge, F_\vee, F_\negF_\rightarrow 的值明确给出自:

  • F_\wedge(x,y) = Max\{0, x + y -1 \}
  • F_\vee(x,y) = Min\{1, x + y \}
  • F_\neg(x) = 1-x
  • F_\rightarrow(x,y) = Min\{1, 1 - x + y \}

求值的性质[编辑]

在这个定义下,求值满足如下条件:

F_\wedgeF_\vee 满足

  • F_\wedge(0,0) = F_\wedge(0,1) = F_\wedge(1,0) = 0F_\wedge(1,1) = 1
  • F_\vee(0,0) = 0F_\vee(0,1) = F_\vee(1,0) = F_\vee(1,1) = 1
  • F_\wedgeF_\vee连续性的。
  • F_\wedgeF_\vee 在每个构成上是严格递增的。
  • F_\wedgeF_\vee 在如下意义上是结合性的: F(a, F(b,c)) = F(F(a,b),c) 对于每个 F \in \{F_\wedge, F_\vee\}

所以 F_\wedgeF_\vee 都是连续t-规范的。

  • F_\neg(0) = 1F_\neg(1) = 0
  • F_\neg 是连续的。

引用[编辑]

  1. ^ Łukasiewicz J., 1920, O logice trojwartosciowej (Polish, On three-valued logic). Ruch filozoficzny 5:170–171.
  2. ^ Hay, L.S., 1963, Axiomatization of the infinite-valued predicate calculus. Journal of Symbolic Logic 28:77–86.
  3. ^ Hájek P., 1998, Metamathematics of Fuzzy Logic. Dordrecht: Kluwer.
  4. ^ Ono, H., 2003, "Substructural logics and residuated lattices — an introduction". In F.V. Hendricks, J. Malinowski (eds.): Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Trends in Logic 20: 177–212.