武卡謝維奇邏輯

在數學中，武卡謝維奇邏輯（Łukasiewicz logic）是非經典、多值邏輯。它最初由揚·武卡謝維奇定義為叫做「三價邏輯」的三值邏輯；它後來被推廣為 n 值(對於所有有限 n)和無限多值變體，命題和一階都有。它屬於t-規範模糊邏輯 和亞結構邏輯類。

實數值語義

無窮多值武卡謝維奇邏輯是實數值邏輯，其中來自命題演算的句子被指派上在 0 到 1 之間的任意精度的真值。求值有如下遞歸定義:

• $w(\theta \rightarrow \phi )=F_{\rightarrow }(\theta ,\phi )$
• $w(\neg \theta )=F_{\neg }(\theta )$
• $w(\theta \wedge \phi )=F_{\wedge }(\theta ,\phi )$
• $w(\theta \vee \phi )=F_{\vee }(\theta ,\phi )$

$F_{\wedge }$, $F_{\vee }$, $F_{\neg }$ 和 $F_{\rightarrow }$ 的值明確給出自:

• $F_{\wedge }(x,y)=Max\{0,x+y-1\}$
• $F_{\vee }(x,y)=Min\{1,x+y\}$
• $F_{\neg }(x)=1-x$
• $F_{\rightarrow }(x,y)=Min\{1,1-x+y\}$

求值的性質

在這個定義下，求值滿足如下條件:

$F_{\wedge }$ 和 $F_{\vee }$ 滿足

• $F_{\wedge }(0,0)=F_{\wedge }(0,1)=F_{\wedge }(1,0)=0$ 和 $F_{\wedge }(1,1)=1$。
• $F_{\vee }(0,0)=0$ 和 $F_{\vee }(0,1)=F_{\vee }(1,0)=F_{\vee }(1,1)=1$。

• $F_{\wedge }$ 和 $F_{\vee }$ 是連續性的。
• $F_{\wedge }$ 和 $F_{\vee }$ 在每個構成上是嚴格遞增的。
• $F_{\wedge }$ 和 $F_{\vee }$ 在如下意義上是結合性的: $F(a,F(b,c))=F(F(a,b),c)$ 對於每個 $F\in \{F_{\wedge },F_{\vee }\}$。

所以 $F_{\wedge }$ 和 $F_{\vee }$ 都是連續t-規範的。

• $F_{\neg }(0)=1$ 和 $F_{\neg }(1)=0$。
• $F_{\neg }$ 是連續的。