漢彌爾頓矩陣

维基百科,自由的百科全书

在數學上,若一個2n矩陣A是一個漢彌爾頓矩陣,則對此矩陣而言,JA會是一個對稱矩陣,而其中J這個矩陣具有以下的形式:

其中Inn階矩陣單位矩陣。也就是說,若A是一個漢彌爾頓矩陣若且唯若(JA)T = JA,在此處()T表示矩陣的轉置[1]

性質[编辑]

假設一個2n階的矩陣A可寫成如下形式的分塊矩陣:

其中abcd皆為n階矩陣,則「A是漢彌爾頓矩陣」的這條件與「bc這兩個矩陣皆為對稱矩陣,且a + dT = 0」的這條件等價。[1][2]另一個A是漢彌爾頓矩陣時的這條件等價的條件為「存在一個對稱矩陣S,使得A = JS with S[2]:34

從轉置的定義,可輕易地得知說一個漢彌爾頓矩陣的轉置也是漢彌爾頓矩陣,兩個漢彌爾頓矩陣的和也是彌爾頓矩陣,一個漢彌爾頓矩陣的交換子也是漢彌爾頓矩陣。由所有同階的漢彌爾頓矩陣組成的空間形式一個李代數,記作sp(2n),而sp(2n)的維度則為2n2 + n。與這個李代數相對應的李群Sp(2n)這個辛群Sp(2n)這個群可將之視作由辛矩陣所構成的一個群,其中若一矩陣A為一辛矩陣,則它滿足ATJA = J這條件。因此,一個漢彌爾頓矩陣的指數是一個辛矩陣,而一個辛矩陣的對數是一個漢彌爾頓矩陣。[2]:34–36[3]

實漢彌爾頓矩陣的特徵多項式是個偶函數,因此若λ是一個漢彌爾頓矩陣的特征向量,則−λλ*−λ*也都會是該矩陣的特徵向量。[2]:45而這也說明了一個漢彌爾頓矩陣的會是零。

一個漢彌爾頓矩陣的平方是一個斜漢彌爾頓矩陣(skew-Hamiltonian matrix。若一個矩陣A滿足(JA)T = −JA這條件,則它是一個斜漢彌爾頓矩陣);另一方面,每個斜漢彌爾頓矩陣都是一個彌爾頓矩陣的平方。[4]

在複矩陣上的推廣[编辑]

漢彌爾頓的定義可用兩種方式推廣到複矩陣上。一種方法是如上所述般定義說若一矩陣A滿足(JA)T = JA這條件,則該矩陣是一個漢彌爾頓矩陣;[1][4]另一個方式是利用(JA)* = JA這條件,其中()*表示矩陣的共轭转置[5]

漢彌爾頓算子[编辑]

V為一個向量空間,在其上有著辛形式Ω。那麼當「是對稱的」這條件滿足時,就稱線性變換是一個對Ω漢彌爾頓算子(Hamiltonian operator),也就是說它當滿足下式:

若選擇一個e1, …, e2n in V,使得Ω可寫成這樣的形式,則一個對Ω線性算子是漢彌爾頓算子,當且僅當在這個基中與此算子對應的矩陣是漢彌爾頓矩陣。[4]

參照[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Ikramov, Khakim D., Hamiltonian square roots of skew-Hamiltonian matrices revisited, Linear Algebra and its Applications, 2001, 325: 101–107, doi:10.1016/S0024-3795(00)00304-9 .
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 Meyer, K. R.; Hall, G. R., Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the N-body problem, Springer, 1991, ISBN 0-387-97637-X .
  3. ^ Dragt, Alex J., The symplectic group and classical mechanics, Annals of the New York Academy of Sciences, 2005, 1045 (1): 291–307, doi:10.1196/annals.1350.025 .
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Waterhouse, William C., The structure of alternating-Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, 2005, 396: 385–390, doi:10.1016/j.laa.2004.10.003 .
  5. ^ Paige, Chris; Van Loan, Charles, A Schur decomposition for Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, 1981, 41: 11–32, doi:10.1016/0024-3795(81)90086-0 .