贝尔数

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贝尔数埃里克·坦普尔·贝尔命名,是組合數學中的一組整數數列,開首是(OEIS的A000110數列):

Bell Number

Bn基數n的集合的劃分方法的數目。集合S的一個劃分是定義為S的兩兩不相交的非空子集的族,它們的並是S。例如B3 = 5因為3個元素的集合{abc}有5種不同的劃分方法:

{{a}, {b}, {c}}
{{a}, {b, c}}
{{b}, {a, c}}
{{c}, {a, b}}
{{a, b, c}};

B0是1因為空集正好有1種劃分方法。空集的每個成員都是非空集合(这是Vacuous truth,因为空集实际上没有成員),而它們的並是空集本身。所以空集是它的唯一劃分。

貝爾數適合遞推公式:

上述组合公式的证明:

可以这样来想,是含有n+1个元素集合的划分的个数,考虑元素

假设他被单独划分到一类,那么还剩下n个元素,这种情况下划分个数为

假设他和某一个元素被划分为一类,那么还剩下n-1个元素,这种情况下划分个数为

假设他和某两个元素被划分为一类,那么还剩下n-2个元素,这种情况下划分个数为

依次类推,得到了上述组合公式


它們也適合「Dobinski公式」:

期望值為1的泊松分數n次矩。

它們也適合「Touchard同餘」:若p是任意質數,那麼

每個貝爾數都是"第二類Stirling數"的和

Stirling數Sn, k)是把基數為n的集劃分為正好k個非空集的方法的數目。

把任一概率分佈n以首n累積量表示的多項式,其係數和正是第n個貝爾數。這種數劃分的方法不像用Stirling數那個方法粗糙。

貝爾數的指數母函數

貝爾三角形[编辑]

用以下方法建構一個三角矩陣(形式類似楊輝三角形):

  • 第一行第一項是1(
  • 對於n>1,第n行第一項等同第n-1行最後一項。(
  • 對於m,n>1,第n行第m項等於它左邊和左上方的兩個數之和。(

結果如下:(OEIS:A011971

每行首項是貝爾數。每行之和是第二類Stirling數

這個三角形稱為貝爾三角形、Aitken陣列或Peirce三角形(Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle)。

參考[编辑]