贝尔数(英语:Bell number)是组合数学中的一组整数数列,以埃里克·坦普尔·贝尔命名,首几个贝尔数为:
Bell Number
(OEIS数列A000110)
是基数为
的集合的划分方法的数目。集合
的划分是
的两两不相交的非空子集的族,它们的并是
。例如,
,因为有3个元素的集合
有5种不同的划分方法:
。
![{\displaystyle \{\{a\},\{b\},\{c\}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a41a8d4bb6dbde95dd4be163f7a4aaa9a62d645)
![{\displaystyle \{\{a\},\{b,c\}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f6a4023ebfd5fc4173a0a742632650d01507e2e)
![{\displaystyle \{\{b\},\{a,c\}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19d37450e704506f6276fc0500cd6aa1af22657e)
![{\displaystyle \{\{c\},\{a,b\}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1e5bee14c1295b21cabbb4418fdfcdc2cbc972)
;
因为空集正好有1种划分方法。空集的每个成员都是非空集合(这是Vacuous truth,因为空集实际上没有成员),而它们的并是空集本身。所以空集是它的唯一划分。
贝尔数满足递推公式:
![{\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{{n \choose k}B_{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5e86ffce7a32cab4eebff361de96f3e08db4f0)
上述组合公式的证明:
可以这样来想,
是含有n+1个元素集合的划分的个数,考虑元素
假设他被单独划分到一类,那么还剩下n个元素,这种情况下划分个数为
;
假设他和某一个元素被划分为一类,那么还剩下n-1个元素,这种情况下划分个数为
;
假设他和某两个元素被划分为一类,那么还剩下n-2个元素,这种情况下划分个数为
;
依次类推,得到了上述组合公式
它们也适合“Dobinski公式”:
期望值为1的泊松分数的n次矩。
它们也适合“Touchard同馀”:若p是任意质数,那么
![{\displaystyle B_{p+n}\equiv B_{n}+B_{n+1}\ (\operatorname {mod} \ p).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e44d1a89cbc4a0ac1ca69481e9e3c08870fb75)
每个贝尔数都是"第二类Stirling数"的和
![{\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}S(n,k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae139ffa25497affa2f79f03025fdd9818812db)
Stirling数S(n, k)是把基数为n的集划分为正好k个非空集的方法的数目。
把任一概率分布的n次矩以首n个累积量表示的多项式,其系数和正是第n个贝尔数。这种数划分的方法不像用Stirling数那个方法粗糙。
贝尔数的指数母函数是
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/307aca47b7267551e4087742a0d2f608967a50a3)
用以下方法建构一个三角矩阵(形式类似杨辉三角形):
- 第一行第一项是1(
)
- 对于n>1,第n行第一项等同第n-1行最后一项。(
)
- 对于m,n>1,第n行第m项等于它左边和左上方的两个数之和。(
)
结果如下:(OEIS:A011971)
![{\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccc}1\\1&&&&2&&&&\\2&&&&3&&&&5&&&&\\5&&&&7&&&&10&&&&15&&&&\\15&&&&20&&&&27&&&&37&&&&52&&&&\\52&&&&67&&&&87&&&&114&&&&151&&&&203&&&&\\203&&&&255&&&&322&&&&409&&&&523&&&&674&&&&877&&&&\\877&&&&1080&&&&1335&&&&1657&&&&2066&&&&2589&&&&3263&&&&4140&&&&\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a558484fb4e20fb7fd8d75bc1dcaffcab9a5575f)
每行首项是贝尔数。每行之和是第二类Stirling数。
这个三角形称为贝尔三角形、Aitken阵列或Peirce三角形(Bell triangle, Aitken's array, Peirce triangle)。