漢彌爾頓矩陣

在數學上，若一個 $2 n$ 階矩陣 $A$ 是一個漢彌爾頓矩陣，則對此矩陣而言， $JA$ 會是一個對稱矩陣，而其中 $J$ 這個矩陣具有以下的形式：

J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}

其中 $I n$ 是 $n$ 階矩陣單位矩陣。也就是說，若 $A$ 是一個漢彌爾頓矩陣若且唯若 $(JA) T = JA$ ，在此處 $() T$ 表示矩陣的轉置^[1]

性質

假設一個 $2 n$ 階的矩陣 $A$ 可寫成如下形式的分塊矩陣：

A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}

其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 皆為 $n$ 階矩陣，則「 $A$ 是漢彌爾頓矩陣」的這條件與「 $b$ 和 $c$ 這兩個矩陣皆為對稱矩陣，且 $a + d T = 0$ 」的這條件等價。^[1]^[2]另一個 $A$ 是漢彌爾頓矩陣時的這條件等價的條件為「存在一個對稱矩陣 $S$ ，使得 $A = JS$ with $S$ 」^[2]^:34

從轉置的定義，可輕易地得知說一個漢彌爾頓矩陣的轉置也是漢彌爾頓矩陣，兩個漢彌爾頓矩陣的和也是彌爾頓矩陣，一個漢彌爾頓矩陣的交換子也是漢彌爾頓矩陣。由所有同階的漢彌爾頓矩陣組成的空間形式一個李代數，記作 $sp(2 n)$ ，而 $sp(2 n)$ 的維度則為 $2 n 2 + n$ 。與這個李代數相對應的李群是 $Sp(2 n)$ 這個辛群。 $Sp(2 n)$ 這個群可將之視作由辛矩陣所構成的一個群，其中若一矩陣 $A$ 為一辛矩陣，則它滿足 $A T JA = J$ 這條件。因此，一個漢彌爾頓矩陣的指數是一個辛矩陣，而一個辛矩陣的對數是一個漢彌爾頓矩陣。^[2]^:34–36^[3]

實漢彌爾頓矩陣的特徵多項式是個偶函數，因此若 $λ$ 是一個漢彌爾頓矩陣的特征向量，則 $-λ$ 、 $λ *$ 和 $-λ *$ 也都會是該矩陣的特徵向量。^[2]^:45而這也說明了一個漢彌爾頓矩陣的跡會是零。

一個漢彌爾頓矩陣的平方是一個斜漢彌爾頓矩陣（skew-Hamiltonian matrix。若一個矩陣 $A$ 滿足 $(JA) T = - JA$ 這條件，則它是一個斜漢彌爾頓矩陣）；另一方面，每個斜漢彌爾頓矩陣都是一個彌爾頓矩陣的平方。^[4]

在複矩陣上的推廣

漢彌爾頓的定義可用兩種方式推廣到複矩陣上。一種方法是如上所述般定義說若一矩陣 $A$ 滿足 $(JA) T = JA$ 這條件，則該矩陣是一個漢彌爾頓矩陣；^[1]^[4]另一個方式是利用 $(JA) * = JA$ 這條件，其中 $() *$ 表示矩陣的共轭转置。^[5]

漢彌爾頓算子

設 $V$ 為一個向量空間，在其上有著辛形式 $Ω$ 。那麼當「 $x,y\mapsto \Omega (A(x),y)$ 是對稱的」這條件滿足時，就稱線性變換 $A:\;V\mapsto V$ 是一個對 $Ω$ 的漢彌爾頓算子（Hamiltonian operator），也就是說它當滿足下式：

\Omega (A(x),y)=-\Omega (x,A(y))

若選擇一個基 $e 1, \dots, e 2 n$ in $V$ ，使得 $Ω$ 可寫成 $\sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}$ 這樣的形式，則一個對 $Ω$ 線性算子是漢彌爾頓算子，當且僅當在這個基中與此算子對應的矩陣是漢彌爾頓矩陣。^[4]

參照

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^ ^4.0 ^4.1 ^4.2 Waterhouse, William C., The structure of alternating-Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, 2005, 396: 385–390, doi:10.1016/j.laa.2004.10.003 .
^ Paige, Chris; Van Loan, Charles, A Schur decomposition for Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, 1981, 41: 11–32, doi:10.1016/0024-3795(81)90086-0 .

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[meyer-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Meyer, K. R.; Hall, G. R., Introduction to Hamiltonian dynamical systems and the $N$ -body problem, Springer, 1991, ISBN 0-387-97637-X .

[dragt-3] Dragt, Alex J., The symplectic group and classical mechanics, Annals of the New York Academy of Sciences, 2005, 1045 (1): 291–307, doi:10.1196/annals.1350.025 .

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[paige-5] Paige, Chris; Van Loan, Charles, A Schur decomposition for Hamiltonian matrices, Linear Algebra and its Applications, 1981, 41: 11–32, doi:10.1016/0024-3795(81)90086-0 .

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